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《2007-2008-研07-数值分析试题答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、成绩中国矿业大学07级
2、士研宄生课程考试试卷考试科H数值分析考试时间2008年01月研究生姓名所在院系学号任课教师中国矿业大学研究生培养管理科印制一、填空题（40分，每空2分）1、要使的近似值的相对误差不超过0.1%,至少应取j位有效数字。丄2V32condJA)=£,\Q~^Q\f=3、当《=—3,b=3,1日寸，函数2x3+ax1+/?x+c%e[0,l]妊[1，3]是［0,3］上以0，l，3为节点的三次样条函数4、对于迭代函数识（W^x+cO2—3）,当c•满足条件-吋，迭代序列人+1=炉（人）收敛到当c满足条件时，收敛最
3、快。5、已知/（X）的数裾/（^■）3则23912/w的二次L啊e攏多项式为3^>9$Blh12(x—l)(x—2)(3-1)(3-2)/(•X)的二次Newton插值多项式为3+6U-1)-互(％-1)(x-2)2（要求只写出表达式，不需化简）6、/(x)=2x3+x2-2x-l在
4、一1，1
5、上的94二次最佳平方逼近多项式为x2-—x-1,5二次最佳一致逼近多项式为％2-丄。2"-1108、没A二202(Legendre多项式为P。(x)=1，f(X)=X，P2(x)=(3x2—1)/2,P3(x)=(5x3-3x)/2Cheby
6、shev多项式为=1,7](X)=X,T2(X)=2x2—,T3(X)=4%3—3x)^+12x,-2-IT*rxi~2xk-八+18八」LA2吻卜3」°7、求網赚方程｛2工0的Newton选代公式为的列选主元的LU分解为PA=Lf7,则4-2-1J'00r1004-2-1p=010；L=X10；u=01100-xX100-K9、求解初值问题.V’=/(X,30y(^)=?0的差分格式h=+2[3八''〜，又*-1)]的阶数为2。10210、设矩阵010,用求特征值的古典Jacobi方法迭代一步的Givens矩阵204二(10分)
7、根椐Homer算法，设计求下而多项式值的计算方法p/x)=6Z0+6Z,(X-XO)+6Z2(X-XO)(%-%!)+---+6/zf(X-X())(X-X1)---(X-X/J_1)(要求写山伪程序)［解］fork=I:nP=P(x-xn_k^an_k；end三（5分）设Ax=/?的系数矩阵A为对称正定的，试证明对任意初值％，迭代公式x（々+1）=又⑻-aKAxa）-b），々=0,1，2,…2当0＜仍＜吋都收敛到Ax=的精确解。［证明］（1）义二义一69（Ar—/?）是/U=Z?的等价变形（2）记A的特征值为人，则迭代矩阵似=/-
8、勿/1的特征值为1-仍/1,。由迭代法收敛的充要条件可知，迭代公式收敛》
9、i-,公式收敛。A=6437[，⑼+，(1)]+；7/(0.5)o5由A对称正定可知0＜A幺/?(A)幺
10、
11、A
12、
13、，则当0＜仞＜四(10分)己知求积公式A[/(0)+/(!)]+B/(0.5)为插值型求积公式(1)试确定求积系数A、(2)试确定该公式的代数精度；(3)利用该公式求积分/=fsin2G+l)Jz的近似值(只需写出表达式)。J—1[解](1)此为三个节点的插值型求积公式，代数精度至少为2,所以对/(x)=l,x,P求积公式精确成立，从而得：2A+B
14、=1求积公式为⑵对/(X)=x左端=0.25，右端=1/6+1/12=0.25=左端对，(又)=又，左端=0.2，右端二1/6+1/24二5/24矣左端所以代数精度为3.,所以2(6^2+iSin五(10分)设求积公式=g人./(xA.)为Gauss型求积公式，试证明(1)求积系数4=J*[/A<(X)]2也，•其中么(X)为Lagrange插值基函数；(2)该公式是数值稳定的。[解](1)因A2个节点Gauss型求积公式的代数精度达到2az-1,而/,.(X)是《-1次多项式[/,.(x)]2为2/7-2次多项式，故该公式对[/
15、,.(x)]2精确成立。从而［i,(%)j2^=SA^(^)J2=A(这里用到了<(a)=s议k=(2)设/()有误差，id8=max
16、£A
17、,A=1k=则由此引起的计算误差为18、
19、x
20、
21、2=
22、
23、>j
24、2»Householder变换//为H=I-2a)a)T，其中69证明//是对称正交矩阵，且=(2)利用Householder变换求矩阵A(1)［证明］易知=HIH=E10-2-2-25Hx=(I-2e
25、oa)T)x=x—2(x-y)(xTx-yTx)由W2=Iblk，1卜—)’忙=(x-y9x-y)=xTx-2xTy+yTy=2(xTx-yTx),可得Hx=yq=h,h2.-32则4=2/?，其中尺=0500七（5分）根据Milne
