数值分析07-数值积分与微分(上)研.ppt

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1、第七章数值积分与微分（上）7-1阜师院数科院第七章数值积分与微分第七章目录§1数值积分的基本概念1.1构造数值求积公式的基本思想1.2代数精度1.3插值型求积公式§2牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式2.1牛顿一柯特斯公式2.2几种低价N-C求积公式的余项2.3牛顿一柯特斯公式的稳定性和收敛性§3复化求积公式3.1复化梯形公式3.2复化Simpson公式与复化Cotes公式2阜师院数科院第七章数值积分与微分第七章目录§4变步长方法（逐次分半算法）4.1梯形公式的逐次分半算法4.2Simpson公式的

2、逐次分半算法§5龙贝格（Romberg）求积公式5.1外推法5.2Romberg求积公式§6高斯（Gauss）型求积公式§7数值微分3阜师院数科院第七章数值积分与微分序(1)计算定积分的值是经常遇到的一个问题，由微积分理论知道：只要求出f(x)的一个原函数F(x)，就可以利用牛顿—莱布尼慈（Newton-Leibniz）公式出定积分值：但是，在工程技术领域，在实际使用上述求积分方法时，往往会遇到下面情况：1.函数f(x)没有具体的解析表达式，只有一些由实验测试数据形成的表格或图形。4阜师院数科院第七章数值积分

3、与微分序(2)3.f(x)的结构复杂，求原函数困难，即不定积分难求。2.f(x)的原函数无法用初等函数表示出来，如：由于以上种种原因，因此有必要研究积分的数值计算方法，进而建立起上机计算定积分的算法，此外，数值积分也是研究微分方程和积分方程的数值解法的基础。同样，对函数f(x)求导，也有类似的问题，需要研究数值微分方法。5阜师院数科院第七章数值积分与微分§1数值积分的基本概念1.1构造数值求积公式的基本思想定积分I=∫abf(x)dx在几何上为x=a,x=b,y=0和y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。定积分

4、计算之所以困难，就在于这个曲边梯形中有一条边y=f(x)是曲边，而不是规则图形。由积分中值定理，对连续函数f(x)，在区间[a,b]内至少存在一点，使：也就是说，曲边梯形的面积I恰好等于底为（b-a），高为f()的规则图形—矩形的面积（图7-1），f()为曲边梯形的平均高度，然而点的具体位置一般是不知道的，因此难以准确地求出f()的值。但是，由此可以得到这样的启发，只要能对平均高度f()提供一种近似算法，便可以相应地得到一种数值求积公式。图7-1abξ6阜师院数科院第七章数值积分与微分构造数值求积

5、公式的基本思想（续）如，用两端点的函数值f(a)与f(b)取算术平均值作为平均高度f()的近似值，这样可导出求积公式：更一般地，可以在区间[a,b]上适当选取某些点xk(k=0,1,…,n)，然后用f(xk)的加权平均值近似地表示f()，这样得到一般的求积公式：其中，点xk称为求积节点，系数Ak称为求积系数，Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖于被积函数f(x)的具体形式，即xk决定了，Ak也就相应的决定了。7阜师院数科院第七章数值积分与微分构造数值求积公式的基本思想（续1）回顾定积分的定义，积分值I

6、是和式的极限：其中xk是[a,b]的每一个分割小区间的长度，它与f(x)无关，去掉极限，由此得到近似计算公式：因此，式（7-1）可作为一般的求积公式，其特点是将积分问题归结为函数值的计算，从而避开了使用牛顿一莱布尼慈公式需要求原函数的困难，适合于函数给出时计算积分，也非常便于设计算法。便于上机计算。求积公式（7-1）的截断误差为：Rn也称为积分余项。8阜师院数科院第七章数值积分与微分1.2代数精度数值积分是一种近似方法，但其中有的公式能对较多的函数准确成立，而有的公式只对较少的函数准确成立。为了反映数值积分

7、公式在这方面的差别，引入代数精度的概念。定义1如果某个求积公式对所有次数不大于m的多项式都精确成立，而至少对一个m+1次多项式不精确成，则称该公式具有m次代数精度。一般来说，代数精度越高，求积公式越好。为了便于应用，由定义1容易得到下面定理。定理1一个求积公式具有m次代数精度的充分必要条件是该求积公式对1,x,x2,…,xm精确成立，而对xm+1不精确成立。9阜师院数科院第七章数值积分与微分代数精度(续1）试验证梯形公式具有一次代数精度。例1同理可证明矩形公式的代数精度也是一次的10阜师院数科院第七章数值积分

8、与微分代数精度（续2）上述过程表明，可以从代数精度的角度出发来构造求积公式。例如，对于求积公式（7-1），若事先选定一组求积节点xk(k=0,1,…,n,)，xk可以选为等距点，也可以选为非等距点，则可令公式对f(x)=1,x,…,xn精确成立，即得：这是关于A0、A1、…、An的线性方程组，系数行列式为范德蒙行列式，其值不等于零，故方程组存在唯一的一组解。求解该方程组即可确定求积系数Ak，所得到的