机械震动--单自由度体系的自由振动

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1、机械振动分析……单自由度无阻尼系统的自由振动机械振动是物体（或物体的一部分）在平衡位置（物体静止时的位置）附近作的往复运动。可分为自由振动、受迫振动。又可分为无阻尼振动与阻尼振动。常见的简谐运动冇弹簧振了模型、中.摆模型等。振动在机械中的应用非常昔遍，例如在振动筛分行业中基本原理系借电机轴上下端所安装的重锤（不平衡東锤），将电机的旋转运动转变为水平、垂直、倾斜的三次元运动，再把这个运动传达给筛面。若改变上下部的重锤的相位角可改变原料的行进方h'd。物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位置附近的振动称为无

2、阻尼自由振动。其屮仅需用一个独立坐标就可确定振体位置的系统为单自由度系统。单自巾度系统的振动理论是振动珂论的基础。研究单自巾度系统的振动有着非常普遍的实际意义，因为工程上有许多问题通过简化，用中.自由度系统的振动理论就能得到满意的结果。而同时对多自巾度系统和连续系统的振动，在特殊飧标系巾考察时，显示出与单0由度系统类似的性态。因此，揭示单自由度振动系统的规律、特点，为进一步研究复杂振动系统奠定了基础。影响振动作用的因素是振动频率、加速度和振幅。现在我们就此方面展开对单自由度无阻尼振动的讨论。主要包括两部分：平自由度

3、无阻尼系统的自由振动和平自巾度无阻尼系统的受迫振动。一、单自由度无阻尼系统的自由振动如下图，设此梁上的集屮质量为芄重量为W=梁由于质量的重力引起的质景处的静力位移用％表示，与％相应的质量位置称为质量的静力平衡位置。若此质量受到扰动离开了静力平衡位置，当扰动除去后，则体系将发生振动，这样的振动称为体系的自由振动。由于振动的方M与梁轴垂直，故称为横A振动。在此,只讨论微小振幅的振动，由振动引起的内力限于材料的弹性极限以内，用以表示质量运动的方程将为线性微分方程。1、建立运动方程建立运动方程常用的基本原理是达朗伯原理（亦

4、称惯性力法或动静法）。今考虑在振动过程的某一瞬时t,设质量在此瞬时离开其平衡位置的位移为y，取质量为隔离体，则在质量上作用有三种力：质量的重量W,杆件对质量的弹性恢复力S和惯性力F（t）。根据达朗伯原理，这三个力应成平衡，即W+S+F（t）=O（1）在弹性体系中，弹性恢复力S为：s=-k（y+ys）上式中的K为一常数，称为刚度系数，代表简支梁上使质量在运动方向产生单位位移时需要加在质量上的沿质量运动方向的集屮力的量值。式屮负号表示X的指向和位移的方向相反。LBPw=k-ysk因此，将5*=—々（夕+}^）和W=代入

5、式（1）得(2)-ky+F(t)=o上式表明，如果以静力平衡位置作为计算位移的起点，则建立体系的运动方程时，可以不考虑重力W的影响。这对其他体系的振动（包括受迫振动）也同样近用。将=代入式（2）得：d2y,,、m—Y+ky（t）=O^=y(速度)dt加髓）d^ydt2••+ky(t)=0可为>’+(O2y=0(3)此为中.自由度体系无阻尼tl由振动的运动方程，它反映了这种振动的一般规律。若釆用柔度法建立运动方程(建立位移方程)，以静力平衡位置作为计算位移的起点，则梁在质量m处除惯性力=这个假想的外荷载作用外，再无d

6、rJt他外力作用。所以由达朗伯原理可知，梁在集屮质量m处任一运动瞬时的位移为即myH——y(t)=08(4)式中5为一常数，代表简支梁上集中质景处在质景的运动方h'd作用中.位荷载时所产生的静力位移。s称为结构的柔度系数，它与刚度系数a的关系为k则(4)式可变为ary=0式中=—=-与建立质量动平衡方程所得的结果相同。mom2、运动方程的解式(3)为二阶常系数线性微分方程，其通解为y(z)=c,coscot+c2sinojt(5)取对时间的一阶导数，则该体系在任一瞬吋的速度为番y(t)=v(z)=-coc{sinc

7、ot+coc2coscot式中的常数c,和c2可由初始条件得出。设f=0时，)’(O)=yov(0)=v0则q=y()G=—0)代入(5)得y(t)=y0cosM+—sinM(6)COy(z)=-coyQsineot+vQcoscot(7)在以上各式屮，y。及各称为初始位移和初速度。式(6)也可写成单项式：(8)y(t)=Asin(a)t+£)再将其展开得:y(z)=Asincotcose+Acoscotsine(9)比较(6)和(9)得y0=Asin£—=Acosr.coA=Jyg+(—)2s二arctan(2^

8、)Vv0式y(z)=Asin⑽+幻表示一简谐振动，A代表最大的位移，称为振幅；€称为初相角，最大位移的初相角均决定于质量的初位移及初速度。在简谐振动屮，位移、速度和加速度等物理量均按正弦或余弦规律变化，而正弦或余弦函数是周期函数，所以它们都是周期振动，毎经历一定时间，结构出现前后冋一运动状态(包括位置、速度等)所需的时间间隔称为振动周期，用符号r表示。由式(