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1、高中数学教学应走出解题“假设”的误区乐亭县教育局教研室周学军河北06360020001.7在数学解题中，根据题目的需要，常需提出假设，借助于假设的参与，形成新的思路，从而使问题获解。但因假设不当或假设不慎，导致解题错误的现象经常发生，因此，本文拟通过对几例的剖析，引导大家走出“假设”的误区。1.误区之一：忽视“假设”的存在性例1：已知椭圆x2+=1，过点A(1,1)能否作一条直线ι与所给椭圆交于两点Q1、Q2,且点A恰好为线段Q1Q2的中点？错解：设Q1(x1,y1)、Q2(x2,y2),线段Q1Q2的中点为A(1,1)，2x12+y12=22x22+
2、y22=2由得2(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0.又x1+x2=2，y1+y2=2，代入上式得4(x1-x2)+2(y1-y2)=0，所以，,即所求直线ι的斜率为-2，故ι的方程为y-1=-2(x-1)，即2x+y-3=0.因此，满足题设条件的直线ι存在且其方程为2x+y-3=0。剖析：上述解法“设”而不求，简捷明快，也是解几解题常用的方法，但若将所求直线的方程与椭圆方程联立2x2+y2=22x+y-3=0得2x2+(3-2x)2=2即6x2-12x+7=0所以，Δ=-24<0,即方程组无解，所以直线与椭圆无交点，因此这样
3、的直线不存在。事实上，点A位于椭圆的外部，不能作一条直线满足题设条件。启示：在解决有关存在性问题时，往往先假设符合条件的对象存在，然后进行推理求得结论。然而，上述假设仅仅是题目的必要条件，经代入检验显然不是充分条件，假设实际上变成了“无中生有”。因此，解决这类问题时必须注意“假设”的存在性。2.误区之二：忽视“假设”的等价性例2：设Sn、Tn分别为等差数列{an}、{bn}的前n项和，若对一切自然数n，有,求的值。Sn=k(7n+1)Tn=k(4n+27)错解：因为故可设(k为常数)所以a11=S11-S10=k(711+1)-k(710+1)=7kb
4、11=T11-T10=k(411+27)-k(410+27)=4k因此.剖析：上述解法中，假设Sn=k(7n+1)、Tn=k(4n+27)是把k看成与n无关的常数，其实k是与n相关的，由等差数列的前n项和公式知：当公差d0时，Sn是n的二次函数且常数项为0，而上述假设中，Sn是关于n的一次函数，导致错误的原因是假设与已知条件不等价。Sn=kn(7n+1)Tn=kn(4n+27)启示：解题时，要准确把握概念、定理和性质，只有“假设”与已知条件等价，才能保证正确顺利的解题。正解：依题意，不妨设则a11=S11-S10=11k(711+1)-10k(710+
5、1)=148kb11=T11-T10=11k(411+27)-10k(410+27)=111k故。3.误区之三：忽视“假设”的可靠性例3：已知4个数成等比数列，这4个数的积为1，第二项与第三项之和为-,求这4个数。错解：设这4个数分别为aq-3、aq-1、aq、aq3(a、q为常数）a4=1(1)a(q+)=-(2)依题意得由（1）知a=1,代入（2）得q+=.因为
6、q+
7、2,所以此题无解。剖析：上述解法看起来似乎是几个数成等比（积一定）问题的巧设，其实，这样设的结果使四个数所成数列的公比为q2,从而导致这四个数必须同号，这显然违背了题意，故这种设法是
8、不可靠的，是错误的。启示：一些巧妙的假设往往可以使解题更加简捷、明了，但是，如果一味追求巧妙，不注意假设的可靠性、合理性，往往导致解题的错误。正解：设这四个数分别为a、aq、aq2、aq3（a、q为常数）依题意得a4q6=1(1)aq(1+q)=-(2)不难解得q=-或-4，q=-代入（2）得a=8.q=-4代入（2）得a=-.则所求四个数为8，-2，,-或-，，-2，8.4.误区之四：“假设”存在盲目性例4：求函数y=+的最小值.错解：原函数可化为y=+设z1=(x+1)+4i,z2=(x-3)+2i则y=
9、z1
10、+
11、z2
12、由
13、z1
14、+
15、z2
16、
17、z1
18、-z2
19、得y=
20、z1
21、+
22、z2
23、=
24、(x+1)+4i
25、+
26、(x-3)+2i
27、
28、4+2i
29、=2.故所求函数的最小值为2.剖析：上述解法中，
30、z1
31、+
32、z2
33、
34、z1-z2
35、取等号的条件是z1、z2两复数对应的向量共线且方向相反，由得x=7，此时，z1=8+4i、z2=4+2i,两向量方向相同，不等式等号成立的条件不具备，解法当然也是错误的。启示：解题中，往往需要通过“假设”的勾通，与一些定理或公式建立联系，借助定理或公式去解题。但这种“假设”必须符合定理或公式的使用条件，盲目去设，必然会导致错误的发生。正解：设z1=(x+1)+4i,z2=(x-3)-2i
36、,则y=
37、(x+1)+4i
38、+
39、(x-3)-2i
40、由
41、z1
42、+
43、z2
44、
45、z1-z2
46、得y
47、(x
