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1、双曲线专题复习讲义★知识梳理★1.双曲线的定义(1)第一定义:当
2、
3、PF
4、
5、PF
6、
7、2a
8、FF
9、时,P的轨迹为双曲线;1212当
10、
11、PF
12、
13、PF
14、
15、2a
16、FF
17、时,P的轨迹不存在;1212当
18、PF1PF2
19、2aF1F2时,P的轨迹为以F1、F2为端点的两条射线(2)双曲线的第二义平面内到定点F与定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比是常数e(e1)的点的轨迹为双曲线2.双曲线的标准方程与几何性质标准方程x2y2y2x21(a,b0)1(a,b0)2222abab焦点(c,0),(c,
20、0),(0,c),(0,c)焦距2c性范围
21、x
22、a,yR
23、y
24、a,xR质顶点(a,0),(a,0)(0,a),(0,a)对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率ce(1,)a准线22aaxycc渐近线bayxyxabx2y222xy与双曲线1共渐近线的双曲线系方程为:(0)2222abab2222xyyx与双曲线1共轭的双曲线为12222abba222等轴双曲线xya的渐近线方程为yx,离心率为e2.;★重难点突破★1.注意定义中“陷阱”问题1:已知FF
25、(5,0),(5,0),一曲线上的动点P到F,F距离之差为6,则双曲线的方1212程为点拨:一要注意是否满足2a
26、FF
27、,二要注意是一支还是两支1222xy
28、PF
29、
30、PF
31、610P的轨迹是双曲线的右支.其方程为1(x0)12,9162.注意焦点的位置3问题2:双曲线的渐近线为yx,则离心率为2b313a313点拨:当焦点在x轴上时,,e;当焦点在y轴上时,,ea22b23★热点考点题型探析★考点1双曲线的定义及标准方程题型1:运用双曲线的定义[例1]某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的
32、报告:正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s:相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差,到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的.[解析]如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点,则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020)设P(x,y)为巨响为生点,由A、C同时听到巨响声,
33、得
34、PA
35、=
36、PC
37、,故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=-x,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故
38、PB
39、-
40、PA
41、=340×4=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线22xy1上,y22abPC依题意得a=680,c=1020,AOBx222222bca1020680534022xy故双曲线方程为1226805340用y=-x代入上式,得x6805,∵
42、PB
43、>
44、PA
45、,x6805,y6805,即P(6805,6805),故PO680100答:巨响发生在接报中
46、心的西偏北45距中心68010m处.【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”【新题导练】22y1.设P为双曲线x1上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点,若
47、PF1
48、:
49、PF2
50、=3:2,12则△PF1F2的面积为()A.63B.12C.123D.24解析:a1,b12,c13,由
51、PF
52、:
53、PF
54、3:2①12又
55、PF
56、
57、PF
58、2a2,②12由①、②解得
59、PF
60、6,
61、PF
62、4.12222
63、PF
64、
65、PF
66、52,
67、FF
68、52,1212PFF为直角三角形,1211S
69、PF
70、
71、
72、PF
73、6412.故选B。PF1F2122222xy2.如图2所示,F为双曲线C:1的左916焦点,双曲线C上的点P与Pi1,2,3关于y轴对称,i7i则PFPFPFPFPFPF的值是()123456A.9B.16C.18D.27[解析]PFPFPFPFPFPF6,选C16253422xy3.P是双曲线221(a0,b0)左支上的一点,F1、F2分别是左、右焦点,且焦距ab为2c,则PFF的内切圆的圆心的横坐标为()12(A)a(B)b(C)c(D)abc[
74、解析]设PFF的内切圆的圆心的横坐标为x,120由圆的切线性质知,PFPF
75、cx
76、
77、x(c)
78、2axa21000题型2求双曲线的标准方程22xy[例2]已知双曲线C与双曲线-=1有公共焦点,且过点(32,2).求双曲线C164的方程.【解题思路】运用方程思想,列关于a,b,c的方程组22xy[解