资源描述：
《常微分方程算法的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、常微分方程算法的应用（杨牧原20096313）-、常微分方程算法背景科学研宄和工程技术中许多问题在数学上往往归结为微分方程求解问题。为了确定微分方程的解，一般要加上定解条件，根据不同的情况，这些定解条件主要有初始条件和边界条件。只含初值条件作为定解条件的微分方程求解问题称为初值问题：例如在天文学屮研究星体运动，空间技术中研究物体飞行等，都需要求解常微分方程初值问题。只含边界条件作力定解条件的微分方程求解问题称为边值问题。除特殊情形外，微分方程一般求不出解析解，即使有的能求出解析解，其函数表示也比较复
2、杂，计算W:比较大，而且实际问题往往只要求在某一时刻解的函数伉。为了解决这个问题，有两种方法可以逼近原方程的解。第一种方法是：将原微分方程化简为可以准确求解的微分方程，然后使用化简后的方程解近似原方程的解。第二种方法是：将求原微分方程的解析解，转化成求原微分方程的数值解，这是实际中®常用的方法。本课程设汁所指常微分方程算法，即求微分方程解初值问题解的数值方法。对于微分方程解初值问题解的数值方法，常用的有欧拉方法、改进的欧拉法、龙格库塔方法、单步法、线性多步法等。二、数值解的一般概念=y)常微分方程初
3、值问题^Uo)=yo的数值解是指通过一定的近似方法得出准确解厂^⑴在一列离散点^么么…’〜…上的近似值八，％，^2，…，｝；,，…。数值解的特征是步进式，即在点的近似值是由等若干点处的近似值的信息给出的递推公式。若依赖于前而&步的值,则称为&步法；利用)’(功在弋，弋-1，…，的精确解)'’()’)7(^-1)’’"’>?(弋-(+1)借助某种算法计算出^+1，则称为该方法的局部截断误差。如果一个算法的局部截断误差是0(/”，则称该方法是P阶的：而利用数值解X,O；-P---OU+,得到的与微分方
4、程的精确解之差ly(x"+l>_>;+11称为整体截断误差，即是该数值方法的误差。对于固定的x>&,取,用某种算法得到如有=0,则称该方法是收敛的。注意，因*是固定的，随着数值解的步数H400。在实际计算时由于舍入误差不可避免，实际得到数值解是否随着计算步骤《的增加而增加。通常所提的稳定性是通过模型方程>；，=<0)来讨论的。若当某一步％有舍入误差时，在以后的计算中误差不会逐步扩大，则称这种穏定性为绝对稳定性。(1)Euler法：Euler法X:+l=x,+/7/(x,,，x:)的局部截断误差为(?
5、(/72)，整体截断误差为0(/0，即一Euler法是数值稳定的。隐式Euler法乂
6、+1=凡+/7/(xw+1，yw+1)的误差与Euler法相同，但是无条件稳定：即对任意步长A〉0,隐式Euler法都是穂定的。梯形法％+1=丸+
7、[/('，丸)+/('+1，>；?+1)]的误差比Euler法高一阶，也是无条件稳定的。改进Euler法);,+1=)’„+'
8、[/(x,,，x,)+/(x,,+l，x,+々，(x,,，乂,))]是一种预测一校正方法：y,f+1=乂,+hf、xn，yn)Euler法预测
9、=X,+，X,)+)]——梯形法校正它保持了梯形法的误差阶数，但不是无条件稳定的。(2)龙格-库塔方法龙格-库塔类算法采用区间A若干点的斜率的加权平均来近似整个区间的平均斜率，一般形式为+hY^iKi/=!<=f(Xn^yJZ-l=f(xn+cjt,yn+aijKj^i=2,…J如经典的4级0=4）4阶（局部截断误差为O（/r5））Runge-Kutta公式为/!JVh=yH+-(Ki+2K2+2K3+K4)K=/(〜，凡,)hhK2=f(xn+-,yll+-KJhhK3=f(xn+-,yn+-K
10、2)尺4=f(Xn+yn+kK^（3）线性多步法线性步法具有一般形式X/+1=汉。X:+0X:-1+…+A-lyn-M+/z（AX+l…七Pkfn-k+i）⑵成｝矣0为隐式公式；成,=0为显式公式。构造多步法公式有基于数值积分和Taylor展幵两种途径。多步法（2）的局部截断误差为火一1k^+1=y（xfl+i）-Zajy（+iy（v>+.））y=0y=0利用原微分方程后，成为k-kh=y（xn+i）—IXyD_d/（v川）.y=oy=o因此利用Taylor公式，分别对;y（x）
11、和/（x）作Taylor展开，可确定线性多步（2）中的待定参数和使它达到最高阶精度（或指定精度）。预测一校正格式：不论单步法还是多步法，隐式公式比显式公式的稳定性好，但隐式公式的计算比较困难。预测一校正格式是用显式公式进行预测，再用隐式公式进行校正。四、常微分方程算法的MATLAB实现本课程设计采用两个常微分方程实例，用MATLAB实现其数值解法。即用欧拉公式和四阶龙格-库塔法分别求解下列初值W题；运行结果：(1)/=^^，y(0)=l;xe
12、0，l
13、l+2x(2)y
