第五章_正态分布、常用统计分布和

《第五章_正态分布、常用统计分布和》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第五章正态分布、常用统计分布和极限定理一、什么是正态分布正态分布(NormalDistribution)服从一类确定的规律，又称为常态分布或高斯分布。如统计了96人的初婚年龄18.520.522.524.526.528.530.532.5xφ(x)表5-1图5-1φ(x)1.正态分布曲线是单峰，有一个最高点；2.分布曲线有一个对称轴x=μ；3.分布曲线以横轴为渐近线。中位值、中值、均值三者重叠。分布密度曲线的特征：1.曲线在x=μ处达到最高值，并且以x=μ对称。正态分布的概率密度表达式为：2.在μ不变的情况下，ơ越小，图形越尖锐，反之则

2、低阔。μ1μ2μ3图5-2图5-3Ơ=0.5Ơ=1Ơ=2参数μ和ơ代表的意义正态曲线下每一小块面积就是随机变量在该小块取值所出现的概率，曲线下的整个面积由无数个小直方形拼成。曲线下任意两点的概率，就是对从到的所有小块面积进行累加，即几个典型取值区间的概率值图5-434.13%34.13%13.6%13.6%2.16%2.16%0.11%0.11%二、标准正态分布根据Z值所得到的分布就是标准正态分布，概率密度为变量值标准化标准正态分布其实是一般正态分布的一个特例，记作N(0，1)，一般正态分布记作N(μ，σ2)。一般正态分布之所以能变成唯

3、一的标准正态分布，就是把原来坐标中的零点沿着X轴迁到μ点，并且以σ为单位记分。图5-50σ=1（一）正态分布与标准正态分布的特点对比1.标准正态曲线在Z=0处达到最高点；2.标准正态曲线以Z=0为中心，双侧对称；3.标准正态曲线从最高点向左右缓慢下降，并无限延伸，但永不与基线相交；4.平均数为0，标准差为1；5.标准正态曲线从最高点向左右延伸时，正负1个标准差内向下向内弯，从正负1个标准差开始，向下向外弯。（二）正态分布与标准正态分布面积之间的对应关系34.13%34.13%13.6%13.6%2.16%2.16%0.11%0.11%图

4、5-6（三）标准分的实际意义例1：甲、乙、丙3个同学《社会统计学》分数都是80分，甲同学所在班平均成绩μ甲=80分，μ乙=75分，μ丙=70分，标准差都是10，比较甲、乙、丙3个同学在班上的成绩。例2：设甲、乙、丙三个学生所在班级的平均成绩都为75分，σ甲=10分，σ乙=15分，σ丙=20分，比较甲、乙、丙三个学生在班上的成绩。如果各科原始分数呈正态分布，可将各科原始分数转换成标准分，求其总和，再比较总分大小。例3：甲、乙两生高考的政治分数分别为70分、60分，物理分数分别为60分、70分，从总分上看，两生的总成绩相等，但政治的平均分是

5、70分，δ=20，而物理的平均分是50分，δ=40。为了使标准分Z值变成形式上的原始分数，一般将Z值乘以10，加上50，就变成了T分数：T=10Z+50T甲=0.25×10+50=52.5；T乙=0×10+50=50标准分数的大小和正负可以反映某一个考生在全体考分中所处的地位，如甲生英语分数为Z=-0.44之上有67%的考生；乙生Z=0.25之上有40.13%的考生，通过每个考生在总体中的位置比较优劣，所以称为相对分数。三、标准正态分布表的使用标准正态分布表是根据概率密度，用积分计算Z取不同值时正态分布曲线下的面积。有的从Z=-∞开始，

6、Z逐渐增加，表中所列是某个Z分数以下的累积概率；有的从Z=0开始，Z逐渐变化，计算从Z=0到某一定值之间的概率，因为正态分布对称，且对称轴为μ=0，所以当Z<0与Z>0时相应的Z分数概率值相等。任意两点[Z1，Z2]之间的面积就是图5-7图5-8图5-9例4：例5：例6：例7：例8：例9：即在60.24分到83.76分之间包括有95%的学生。图5-1095%例10：表5-2图5-110Z四、常用统计分布样本具有两重性：假设x1、x2…xn是从总体X中抽取的样本，在一次具体的观测或试验中，它们是一批测量值，是一些已知数，即样本具有数的属性

7、。在不同的观测中样本取值可能不同，因此当脱离开特定的具体试验或观测时，并不知道样本x1、x2…xn的具体取值是多少，可以把它们看作随机变量，即样本具有随机变量的属性。如果在相同条件下对总体X进行n次重复的独立观测，那么可以认为所获得的样本x1、x2…xn是独立的，并且服从相同分布的随机变量。如：当我们把一个长度为μ的物体测量了n次，获得样本x1、x2…xn之后，要计算其算术平均数作为μ的估计，其平均数就是对样本进行处理后得到的一个统计量。样本均值、样本方差是几个主要的统计量。三大分布：x2分布、t分布和F分布（一）x2分布⑴随着自由度增

8、加，图形渐趋对称；⑵x2具有可加性。设ξ~x2(k1)、η~x2(k2)，且ξ与η相互独立，则ξ+η=x2(k1+k2)，即ξ+η~x2(k1+k2)图5-12K=1K=2K=6X2分布表的编制与使用（附表