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时间:2019-09-06
《医学统计学 常用概率分布-正态分布》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第五章:常用概率分布1.1正态分布的概念1.2正态概率密度曲线下的面积1.3正态分布的应用1.4正态分布的判断正态分布一、正态分布的概念正态分布(normaldistribution)德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式,这一公式被认为是正态分布的首次露面。正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广,所以通常称为高斯分布(Gaussdistribution)。德莫佛高斯10马克的钱币医学研究中许多生理、生化指标;测量误差等多呈正态分布或近似正态分布。许多非正态分布资料,当样本含量足够大时,也可以用正态分布作为它
2、的极限分布形式。有时也可将非正态分布资料转化为正态分布来处理。引子:举例:随机抽取某医院1402例待分娩孕妇,测得她们的体重值,试述其体重频数分布的特征。表5-1某医院1402例待分娩孕妇体重频数分布①②③④⑤作图:以体重测量值为横轴,频率密度为纵轴作出直方图,此图即称为频率密度图;纵轴表示的是每个组段内单位长度所占有的频率。图5-1体重频率密度图若将各直条顶端的中点顺次连接起来,得一条折线。当样本量n越来越大时,折线就越来越接近一条光滑的曲线。图5-1体重频率密度图图5-2概率密度曲线示意图图5-1体重频
3、率密度图由于频率的总和为1,所以该曲线下横轴上的面积为1面积=频率推断:测得一个孕妇体重在56-64kg的概率有多大?孕妇体重在哪个范围内算是正常的呢?故对连续性随机变量而言:变量某区间取值的概率=正态曲线该变量区间的面积正态分布(normaldistribution):是描述连续型随机变量最重要的分布。其分布曲线叫正态分布曲线,呈中间高,两边低,左右基本对称的“钟型”曲线,近似于数学上的正态分布,又称高斯分布(Gaussdistribution)。正态分布的密度函数,即正态曲线的函数表达式正态分布曲线:高
4、峰位于中间,两侧逐渐下降并完全对称,曲线两端永远不与横轴相交的“钟型”曲线。μ总体均数总体标准差㈠正态分布的两个参数:μ和σ是正态分布的两个参数,μ和σ决定了x的概率分布;习惯上用N(μ,σ2)表示均数为μ,标准差为σ的正态分布。当σ固定不变时,μ越大,曲线沿横轴越向右移动;反之,μ越小,则曲线沿横轴越向左移动,所以μ叫正态曲线N(μ,σ2)的位置参数,。⑴位置参数:μ图5-4正态分布位置随参数μ变换示意图σ=1σ=1.5σ=2⑵形状参数:σ图5-6正态分布形态随参数σ变换示意图当μ固定不变时,σ越大,曲线
5、越平阔;σ越小,曲线越尖峭,σ叫正态曲线N(μ,σ2)的形状参数。(二)正态曲线下的面积采用定积分的办法,对函数式进行定积分,算得从-∞到a累计面积,再推算出该区间事件发生的概率值-∞ab-∞a正态曲线下的面积分布有一定的规律性:因正态曲线下累计频数的总和等于100%或1,则:横轴上曲线下的面积(概率)就等于100%或1;均数两侧的面积(概率)各占50%。㈡正态分布图形的特征:1.对称性:关于x=μ对称2.集中性:正态曲线在横轴上方,当x=μ时,f(x)取最大值,即均数位于曲线的最高处。5.对频率密度分布图
6、,横轴上曲线下面积为1;其面积与概率分布有对应关系,可通过求面积确定其概率值。3.μ是正态曲线的位置参数,决定曲线在横轴上的位置;μ增大曲线沿横轴向右移,μ减小曲线沿横轴向左移。4.σ是正态曲线的形状参数,σ越大数据越分散,曲线越“矮胖”,σ越小数据越集中,曲线越“瘦高”。二、正态概率密度曲线下的面积由μ,σ决定的正态分布曲线N(μ,σ2)具有多样性..为了应用方便,常将正态概率函数中的x作如下变量代换,令:u称为标准正态变量。把u代入概率密度函数,得标准正态分布的概率密度函数:相对于正态变量x,Z没有度量
7、单位。根据u的不同取值,可绘出标准正态分布的图形。sm-=xu+¥<<-¥=ueuu,21)2/pj-(2任意正态分布曲线X~N(μ,σ2)标准正态分布曲线X~N(0,1)将一般正态分布曲线的μ的位置平移到原点,再以标准差σ为横轴单位,这样就把原来个别的正态分布转换为一般的标准正态分布N(0,1),亦称为Z分布。采用定积分的办法,对函数式(1)或(2)定积分,算得从-∞到x累计面积,从而推算出该区间事件发生的概率值。.图6正态分布(左)及标准正态曲线下(右)的累计面积dZZò¥-=2221)(pjeZZ-/
8、μ-1.96σμ+1.96σX=μ-1.96σ时,所对应的左侧累积概率是多少?X=μ+1.96σ时,所对应的右侧累积概率是多少?X在(μ-1.96σ,μ+1.96σ)间对应概率是多少?正态分布N(μ,σ2)下:求一般正态分布N(μ,σ2)曲线下的面积:例5-11已知X服从均数为u值,标准差为σ的正态分布,试估计:⑴X取值在u±1.96σ内的概率;⑵X取值在u±2.58σ内的概率。解:⑴先求两端点对应的Z值:故N(
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