医学统计学 常用概率分布-正态分布

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1、第五章：常用概率分布1.1正态分布的概念1.2正态概率密度曲线下的面积1.3正态分布的应用1.4正态分布的判断正态分布一、正态分布的概念正态分布(normaldistribution)德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面。正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布(Gaussdistribution)。德莫佛高斯10马克的钱币医学研究中许多生理、生化指标；测量误差等多呈正态分布或近似正态分布。许多非正态分布资料，当样本含量足够大时，也可以用正态分布作为它

2、的极限分布形式。有时也可将非正态分布资料转化为正态分布来处理。引子：举例：随机抽取某医院1402例待分娩孕妇，测得她们的体重值，试述其体重频数分布的特征。表5-1某医院1402例待分娩孕妇体重频数分布①②③④⑤作图：以体重测量值为横轴，频率密度为纵轴作出直方图，此图即称为频率密度图；纵轴表示的是每个组段内单位长度所占有的频率。图5-1体重频率密度图若将各直条顶端的中点顺次连接起来，得一条折线。当样本量n越来越大时，折线就越来越接近一条光滑的曲线。图5-1体重频率密度图图5-2概率密度曲线示意图图5-1体重频

3、率密度图由于频率的总和为1，所以该曲线下横轴上的面积为1面积=频率推断：测得一个孕妇体重在56-64kg的概率有多大？孕妇体重在哪个范围内算是正常的呢？故对连续性随机变量而言：变量某区间取值的概率=正态曲线该变量区间的面积正态分布(normaldistribution)：是描述连续型随机变量最重要的分布。其分布曲线叫正态分布曲线，呈中间高，两边低，左右基本对称的“钟型”曲线，近似于数学上的正态分布，又称高斯分布（Gaussdistribution）。正态分布的密度函数，即正态曲线的函数表达式正态分布曲线：高

4、峰位于中间，两侧逐渐下降并完全对称，曲线两端永远不与横轴相交的“钟型”曲线。μ总体均数总体标准差㈠正态分布的两个参数：μ和σ是正态分布的两个参数，μ和σ决定了x的概率分布；习惯上用N(μ,σ2)表示均数为μ，标准差为σ的正态分布。当σ固定不变时，μ越大，曲线沿横轴越向右移动；反之，μ越小，则曲线沿横轴越向左移动，所以μ叫正态曲线N（μ,σ2）的位置参数，。⑴位置参数：μ图5-4正态分布位置随参数μ变换示意图σ=1σ=1.5σ=2⑵形状参数：σ图5-6正态分布形态随参数σ变换示意图当μ固定不变时，σ越大，曲线

5、越平阔；σ越小，曲线越尖峭，σ叫正态曲线N（μ,σ2）的形状参数。（二）正态曲线下的面积采用定积分的办法，对函数式进行定积分，算得从-∞到a累计面积，再推算出该区间事件发生的概率值-∞ab-∞a正态曲线下的面积分布有一定的规律性：因正态曲线下累计频数的总和等于100%或1，则：横轴上曲线下的面积（概率）就等于100%或1；均数两侧的面积（概率）各占50%。㈡正态分布图形的特征：1.对称性：关于x=μ对称2.集中性：正态曲线在横轴上方，当x=μ时,f(x)取最大值，即均数位于曲线的最高处。5.对频率密度分布图

6、，横轴上曲线下面积为1；其面积与概率分布有对应关系，可通过求面积确定其概率值。3.μ是正态曲线的位置参数，决定曲线在横轴上的位置；μ增大曲线沿横轴向右移，μ减小曲线沿横轴向左移。4.σ是正态曲线的形状参数，σ越大数据越分散，曲线越“矮胖”，σ越小数据越集中，曲线越“瘦高”。二、正态概率密度曲线下的面积由μ,σ决定的正态分布曲线N(μ,σ2)具有多样性..为了应用方便，常将正态概率函数中的x作如下变量代换，令：u称为标准正态变量。把u代入概率密度函数，得标准正态分布的概率密度函数：相对于正态变量x，Z没有度量

7、单位。根据u的不同取值，可绘出标准正态分布的图形。sm-=xu+¥<<-¥=ueuu,21)2/pj-(2任意正态分布曲线X~N(μ,σ2)标准正态分布曲线X~N(0,1)将一般正态分布曲线的μ的位置平移到原点，再以标准差σ为横轴单位，这样就把原来个别的正态分布转换为一般的标准正态分布N（0，1），亦称为Z分布。采用定积分的办法，对函数式(1)或(2)定积分，算得从-∞到x累计面积，从而推算出该区间事件发生的概率值。.图6正态分布(左)及标准正态曲线下(右)的累计面积dZZò¥-=2221)(pjeZZ-/

8、μ-1.96σμ+1.96σX=μ-1.96σ时，所对应的左侧累积概率是多少？X=μ+1.96σ时，所对应的右侧累积概率是多少？X在（μ-1.96σ，μ+1.96σ）间对应概率是多少？正态分布N(μ,σ2)下：求一般正态分布N(μ,σ2)曲线下的面积：例5-11已知X服从均数为u值,标准差为σ的正态分布，试估计：⑴X取值在u±1.96σ内的概率；⑵X取值在u±2.58σ内的概率。解：⑴先求两端点对应的Z值：故N(