概率分布-正态分布

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1、第五讲概率分布—正态分布1.1正态分布的概念和函数1.2正态分布曲线的特征1.3正态曲线的标化1.4曲线下面积的分布规律1.5正态分布在医学中的应用正态分布及其应用【典型案例分析】举例：随机调查某医院1402例待分娩孕妇，测得她们的体重，试述其体重频数分布的特征。引子：表5-1某医院1402例分娩孕妇体重频数分布①②③④⑤作图:以体重测量值为横轴，以频率与组距的比值为纵轴作出直方图。1.由于该直方图的纵轴表示在每个组段内单位长度所占有的频率，相当于频率密度，因此将此图称为频率密度图。图5-1体重频率密度图2.面积=频率由于频率的总和为1，所以该曲线下横轴

2、上的面积为1。.若将各直条顶端的中点顺次连接起来，得一条折线。当样本量n越来越大时，折线就越来越接近一条光滑的曲线。图5-1体重频率密度图图5-2概率密度曲线示意图推断：测得一个孕妇体重在54-68kg的概率有多大？孕妇体重在哪个范围内算是正常的呢？故对连续性随机变量而言：变量某区间取值的概率=正态曲线该变量区间的面积一、正态分布的概念和密度函数正态分布(normaldistribution)：是描述连续型随机变量最重要的分布。其分布曲线叫正态分布曲线，呈中间高，两边低，左右基本对称的“钟型”曲线，近似于数学上的正态分布，又称高斯分布（Gaussdist

3、ribution）。正态分布(normaldistribution)德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面。正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布(Gaussdistribution)。德莫佛高斯10马克的钱币医学研究中许多正常人的生理，生化指标、测量误差等多呈正态分布或近似正态分布。许多非正态分布资料，当样本含量足够大时，也可以用正态分布作为它的极限分布形式。有时也可将非正态分布资料转化为正态分布来处理。正态分布在医学研究中的重要作用：医学研究中：正态分布的密度函数，即正态曲线的函数表达式：式中，

4、μ为总体均数，σ为总体标准差，π为圆周率，e为自然对数的底，仅x为变量。当x确定后，f(x)为X相应的纵坐标高度，则X服从参数为μ和σ2的正态分布（normaldistribution)，记作X~N（μ，σ2）。二、正态分布曲线的特征总体均数总体标准差（一）正态分布的两个参数：μ和σ是正态分布的两个参数，μ和σ决定了x的概率分布；习惯上用N(μ,σ2)表示均数为μ，标准差为σ的正态分布。当给定不同的x值后，就可以根据此方程求得相应的纵坐标高度（频数），并可绘制出正态曲线的图形，记作X~N(μ,σ2)：正态分布曲线：高峰位于中间，两侧逐渐下降并完全对称，曲

5、线两端永远不与横轴相交的“钟型”曲线。当σ固定不变时，μ越大，曲线沿横轴越向右移动；反之，μ越小，则曲线沿横轴越向左移动，所以μ叫正态曲线N（μ,σ2）的位置参数，。1.位置参数：μ图5-4正态分布位置随参数μ变换示意图σ=1σ=1.5σ=22.形状参数：σ图5-6正态分布形态随参数σ变换示意图当μ固定不变时，σ越大，曲线越平阔；σ越小，曲线越尖峭，σ叫正态曲线N（μ,σ2）的形状参数。（二）正态分布图形的特征：1.对称性：关于x=μ对称2.集中性：正态曲线在横轴上方，当x=μ时,f(x)取最大值，即均数位于曲线的最高处。3.对频率密度正态分布图，横轴上

6、曲线下的面积为1。4.μ是正态曲线的位置参数，决定曲线在横轴上的位置；μ增大曲线沿横轴向右移，μ减小曲线沿横轴向左移。5.σ是正态曲线的形状参数，σ越大数据越分散，曲线越“矮胖”，σ越小数据越集中，曲线越“瘦高”。三、正态曲线的标准化为了应用方便，常将正态概率函数中的x作如下变量代换，令：Z称为标准正态变量。把u代入概率密度函数，得标准正态分布的概率密度函数：相对于正态变量x，Z没有度量单位。根据u的不同取值，可绘出标准正态分布的图形。sm-=xZ+¥<<-¥=ueZu,21)2/pj-(2任意正态分布曲线X~N(μ,σ2)标准正态分布曲线X~N(0,1

7、)将一般正态分布曲线的μ的位置平移到原点，再以标准差σ为横轴单位，这样就把原来个别的正态分布转换为一般的标准正态分布N（0，1），亦称为Z分布（或ｕ分布）。四、正态曲线下面积的分布规律正态曲线下的面积分布有一定的规律性：因正态曲线下累计频数的总和等于100%或1，则：横轴上曲线下的面积（概率）就等于100%或1；均数两侧的面积（概率）各占50%。实际工作中常需了解横轴上某一区间曲线下面积占总面积的百分比，以便估计该区间的频数占总频数的百分比（即频数分布情况）。这就需要采用定积分的办法，对函数式(1)或(2)定积分，算得从-∞到x，或从-∞到Z的累计面积（

8、概率）。.图6正态分布(左)及标准正态曲线下(右)的累计面积ZdZZò¥-=22