正态分布概率公式(部分)

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1、图6-2正态分布概率密度函数的曲线正态曲线可用方程式表示。当n→∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态分布曲线的方程：f(x)=（6.16）式中：x—所研究的变数；f(x)—某一定值x出现的函数值，一般称为概率密度函数（由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某一区间的概率，不能计算变量取某一值，即某一点时的概率，所以用“概率密度”一词以与概率相区分），相当于曲线x值的纵轴高度；p—常数，等于3.14159……；e—常数，等于2.71828……；μ为总体参数，是所研究总体的平均数，不同的正态总体具有不同的μ

2、，但对某一定总体的μ是一个常数；δ也为总体参数，表示所研究总体的标准差，不同的正态总体具有不同的δ，但对某一定总体的 δ是一个常数。上述公式表示随机变数x的分布叫作正态分布，记作N(μ,δ2)，读作“具平均数为μ，方差为δ2的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态曲线，形状见图6-2。（二）正态分布的特性1、正态分布曲线是以x=μ为对称轴，向左右两侧作对称分布。因的数值无论正负，只要其绝对值相等，代入公式（6.16）所得的f(x)是相等的，即在平均数μ的左方或右方，只要距离相等，其f(x)就相等，因此其分布是对称的。在正

3、态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于μ点上。2、正态分布曲线有一个高峰。随机变数x的取值范围为（-∞，+∞），在（-∞，μ）正态曲线随x的增大而上升，；当x= μ时，f(x)最大；在（ μ，+∞）曲线随x的增大而下降。3、正态曲线在︱x-μ︱=1δ处有拐点。曲线向左右两侧伸展，当x→±∞时，f(x)→0，但f(x)值恒不等于零，曲线是以x轴为渐进线，所以曲线全距从-∞到+∞。4、正态曲线是由μ和 δ两个参数来确定的，其中μ确定曲线在x轴上的位置[图6-3]， δ确定它的变异程度[图6-4]。μ和 δ 不同时，就会有不

4、同的曲线位置和变异程度。所以，正态分布曲线不只是一条曲线，而是一系列曲线。任何一条特定的正态曲线只有在其μ和δ 确定以后才能确定。5、正态分布曲线是二项分布的极限曲线，二项分布的总概率等于1，正态分布与x轴之间的总概率（所研究总体的全部变量出现的概率总和）或总面积也应该是等于1。而变量x出现在任两个定值x1到x2(x1≠x2)之间的概率，等于这两个定值之间的面积占总面积的成数或百分比。正态曲线的任何两个定值间的概率或面积，完全由曲线的μ和δ 确定。常用的理论面积或概率如下：区间 μ±1δ       面积或概率=0.6826　

5、　　μ±2δ 　　　　　　　　=0.9545　　　μ±3δ  　　　　　　　　=0.9973　　　μ ±1.960δ　　　　　　　　=0.9500　　　μ±2.576δ　　　　　　　　=0.9900  图6-3标准差相同（δ=1）而平均数 图6-4平均数相同（μ =0）而标准差不同的三条正态曲线不同的三条正态曲线（三）正态分布的概率计算正态分布是连续性变数的理论分布，计算其概率的原理和方法不同于二项分布。它不能计算变量取某一定值，即某一点时的概率，而只能计算变量落在某一区间内的概率（即概率密度）。对于任何正态分布随机变量x落入

6、任意区间（a，b）的概率可以表示为：P(a

7、根据以上的方法，如果a、b(a

8、）其表示在标准正态曲线下从-∞到u之间的面积或概率。对于一个u值，例如等于a，标准正态分布的随机变量u落入到区间（-∞，a）的概率可以通过上式求得。为了计算的方便，统计学家已根据a值的大小绘制了标准正态分布的累积分布函数数值表（附表2），通过查表就可以获得（-∞，a）的概率。