第 三 章 气体分子热运动速率和能量统计分布律

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1、第三章气体分子热运动速率和能量的统计分布律3-1设有一群粒子按速率分布如下：粒子数Ni24682速率Vi（m/s）1.002.003.004.005.00试求(1)平均速率V；（2）方均根速率（3）最可几速率Vp解：（1）平均速率：(m/s)(2)方均根速率(m/s)3-2计算300K时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。解：3-3计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为100K、1000K和10000K。解：代入数据则分别为：T=100K时T=1000K时T=10000K时3-4某种气体分子在温度T1时的方均根速率等于温度T2时的平均速率，求T2/T1。解：因由题意得：∴T2

2、/T1=3-5求0℃时1.0cm3氮气中速率在500m/s到501m/s之间的分子数（在计算中可将dv近似地取为△v=1m/s）解：设1.0cm3氮气中分子数为N，速率在500~501m/s之间内的分子数为△N，由麦氏速率分布律：△N=∵Vp2=，代入上式△N=因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率V=500m/s，又△V=1m/s（=1.24）代入计算得：△N=1.86×10－3N个3-6设氮气的温度为300℃，求速率在3000m/s到3010m/s之间的分子数△N1与速率在1500m/s到1510m/s之间的分子数△N2之比。解：取分子速率为V1=3000m/sV2=

3、1500m/s,△V1=△V2=10m/s由5题计算过程可得：△V1=△N2=∴△N/△N2=其中VP=m/s=1.375，=0.687∴解法2：若考虑△V1=△V2=10m/s比较大，可不用近似法，用积分法求△N1，△N2dN=△N1=△N2=令Xi=i=1、2、3、4利用16题结果:∴△N1=（1）△N2=　　（２）其中VP=查误差函数表得：erf(x1)=0.9482erf(x2)=0.9489erf(x3)=0.6687erf(x4)=0.6722将数字代入（１）、（２）计算，再求得：3-7试就下列几种情况，求气体分子数占总分子数的比率：（1）速率在区间vp～1.0vp1内（

4、2）速度分量vx在区间vp～1.0vp1内（3）速度分量vp、vp、vp同时在区间vp～1.0vp1内解：设气体分子总数为N，在三种情况下的分子数分别为△N1、△N2、△N3（1）由麦氏速率分布律：△N=令v2=1.01vp，vi=vp，，则，，利用16题结果可得；查误差函数表：erf（x1）=0.8427erf（x2）=0.8468∴（2）由麦氏速率分布律：∴令，，∴利用误差函数：（3）令，由麦氏速度分布律得：3-8根据麦克斯韦速率分布函数，计算足够多的点，以dN/dv为纵坐标，v为横坐标，作1摩尔氧气在100K和400K时的分子速率分布曲线。解：由麦氏速率分布律得：将π=3.14

5、，N=NA=6.02×1023T=100Km=32×10-3代入上式得到常数：A=∴（1）为了避免麻烦和突出分析问题方法，我们只做如下讨论：由麦氏速率分布律我们知道，单位速率区间分布的分子数随速率的变化，必然在最可几速率处取极大值，极大值为：令则得又在V=0时，y=0，V→∞时，y→0又∵T1=100K＜T2=400K∴＜由此作出草图3-9根据麦克斯韦速率分布律，求速率倒数的平均值。解：3-10一容器的器壁上开有一直径为0.20mm的小圆孔，容器贮有100℃的水银，容器外被抽成真空，已知水银在此温度下的蒸汽压为0.28mmHg。（1）求容器内水银蒸汽分子的平均速率。（2）每小时有多少

6、克水银从小孔逸出？解：（1）（2）逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数，所以每小时从小孔逸出的分子数为：其中是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数，是小孔面积，t=3600s，故，代入数据得：N=4.05×1019（个）∴3-11如图3-11，一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强，分子数密度分别为p1、n1、p2、n2。两部分气体的温度相同，都等于T。摩尔质量也相同，均为μ。试证明：如隔板上有一面积为A的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为：证明：设p1＞p2，通过小孔的分子数相当于和面积为A的器壁碰撞的分子数。从1跑到2的分子数：从2跑到1的分子数：实际通过小孔的分子数：（从1转移到2）

7、因t=1秒，，T1=T2=T∴若P2＞P1，则M＜0，表示分子实际是从2向1转移。3-12有N个粒子，其速率分布函数为(1)作速率分布曲线。(2)由N和v0求常数C。(3)求粒子的平均速率。解：（1）得速率分布曲线如图示（2）∵∴即（3）3-13N个假想的气体分子，其速率分布如图3-13所示（当v＞v0时，粒子数为零）。（1）由N和V0求a。（2）求速率在1.5V0到2.0V0之间的分子数。（1）求分子的平均速率。解：由图得分子的速率分布函数：()()f(