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1、初等数学模型1.某人现有1万元现金，决定存款，计划存n年，试建立存款模型。并用下面的问题验证：中国人民银行97年10月整存整取年利率如下:一年期二年期三年期四年期5.67%5.94%6.21%6.66%某人97年10月有1万元,选用怎样的存款方式使6年内收益最大?分析：假设银行提供的整存整取种类（按年数分）为：任何一种存款方案都可用一组非负整数表示：.则,n年末的收入我们可以算出每种年期的平均年利率（复利）这样这样求p的最大值等价于求lnp的最大值。，则选择第k个年期，否则只能用枚举的方法得到最佳的存款方案。知识点：单利，复利,对
2、数2.体积一定的罐头罐，尺寸应该怎样？分析：罐头罐通常为圆柱体，假设半径为r,高为h.由于体积v一定,所以，设计罐头罐应考虑制造成本：（1）材料费用：罐头罐的表面积与单位面积材料费c的乘积：（2）焊接费用：焊接长度与单位长度的焊接费用d的乘积：(4πr+h)d总费用15当然实际生产过程中，材料的利用率是非常重要的因素。讨论：试研究当d和c的大小发生变换时，对r的影响。练习：某仓库拟用12根长a米的钢管及足量的防水布在露天以钢管为棱搭建若干个棱锥形帐篷零时储物.问如何搭建才能使容积最大?知识点:表面积，体积，函数极值3.某厂每月需供
3、应零件420个(不允许缺货),每月生产率1200个,(由于不必每天生产,所以分批生产)每批装配费500元,存储费每月每件8元(存储费与存储时间成比例),试安排生产周期和每期产量.分析：几个基本假设：（1）不能缺货（2）零件的供应是连续的匀速的，生产过程中零件的产量是连续均匀的（3）生产是周期性的每个周期（设为t）需考虑的费用：装配费k,存储费v.一个周期内库存量q与时间t的关系如下：tqtptp为该周期内生产时间,∵每周期内产量和供应量平衡∴1200tp=420t，tp=420/1200t=0.35t,最高存储量为(1200-42
4、0)tp=273t,最低存储量为0，平均存储量为273t/2=136.5t,存储费v=8×136.5t×t=1092一周期内的总费用为：k+v=500+1092平均每月费用为：（500+1092）/t最佳的生产计划应使得单位时间成本最低（或单位零件的生产成本最低）讨论：研究最佳生产周期与装配费间的关系。如果允许缺货，缺货费为每月每件s元，对上述模型进行修正练习：3.1.某商店经售甲商品,成本单价500元,年存储费用为成本的20%(存储费与存储时间成比例),年需求量为365件,需求速度为常数(不允许缺货).甲商品的订购费为20元,提
5、前期为10天,安排订货周期和每期订货量.3.2.某厂每年需某种元件5000个,需求速度为常数(不允许缺货),每次订购费50元,年存储费用为1元(存储费与存储时间成比例),元件单价K(元)随采购数量Q(个)变化而变化:Q<1500时,K=2.0;Q≥1500时,K=1.9.安排采购周期和每期采购量.15知识点：函数极值4.汽车位于点A,朝向垂直AB.不允许倒车，求汽车到达点B的最短路径.分析：假设汽车有最小的转弯半径r，汽车的大小相对于r,及A,B间的距离d可忽略不计。如果d≥2r,如下图：从A点出发作以r为半径的圆周运动，当该圆过
6、汽车所在点的切线过点B时，汽车径直开向B如果d<2r,如下图：从A点出发径直开,然后作以r为半径的圆周运动，圆恰好过B练习：一幅长为b的画挂在墙上，倾角为q,画的底部离地面的高度为a,试确定观赏者的最佳位置。知识点：三角比155.如图为一双向通行的一个十字路口，每个方向均有一车辆通道，不考虑行人，车辆不允许转弯，给定红绿灯变换周期，试建立数学模型确定水平方向红灯所占时间。H:水平方向；V:竖直方向。分析：假设（1）车流是均匀的（2）有车停车后再发动到正常车速所需时间相等（设为s）。（3）忽略红绿灯间的间隔（黄灯）（4）车队中的车能
7、同时制动和同时启动合理的红绿灯比例配置应使得一周期内车子被延误的时间总和尽量小。设一周期时间为1。水平方向红灯时间为r,则绿灯时间为（1-r）;竖直方向红灯时间为（1-r）,则绿灯时间为r;假设水平方向每周期到达的车辆数为h,则红灯引起的停车量为：hr,平均等待时间为r/2,总共延误时间为：hr(s+r/2)假设竖直方向每周期到达的车辆数为v,则红灯引起的停车量为：v(1-r),平均等待时间为(1-r)/2,总共延误时间为：v(1-r)(s+(1-r)/2)两个方向总共延误时间t=hr(s+r/2)+v(1-r)(s+(1-r)/
8、2)t是r的二次函数，我们可以找到合适的r,使得t最小。讨论：如果假定红灯转成绿灯时，每辆相继启动的车之间有一定时间的延误或考虑红绿灯转换的时间间隔，试修正上述模型。练习：设路口交通灯的变换周期为2分钟,一个周期内东西向和南北向来车分别为20辆和1
