《几个初等模型》word版

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1、几个初等模型[学习目标]1．能表述导弹核武器竞赛的数学模型；2．能表述市场平衡问题的数学模型；3．会用奇偶校验法解决铺瓷砖问题；4．了解工厂地址选择的数学模型；5．能表述动物体形问题的数学模型。一、导弹核武器竞赛美国和前苏联都深感自己需要一定数量的洲际弹道导弹，以对付对方的“核讹诈”,其基本想法是当自己在遭到对方的突然袭击后能有足够的导弹幸存下来，以便给予对方以“致命打击”.为此双方展开了一场竞争,方法有:(1)努力增加自己的核武器，从数量上压倒对方.但这样作下去双方都感到负担过重.(2)引进反弹道导弹和多弹头导弹.(3)加固导弹库或建造核潜艇

2、来保护导弹,使之不易受到攻击.究竟用什么方法为好,在对方采取不同的策略时,自己又将如何对付？为此展开了一场激烈的军备竞赛.由于核武器种类繁多，性能各异,问题比较复杂，所知信息又少。因此下面建立一个简单的图解模型，以便帮助阐明其中某些问题.把讨论的两国称为甲方和乙方.用x,y分别表示甲方和乙方拥有的导弹数.由于x,y很大,把x和y看作实数.假设两方拥有的导弹相同，而且具有同等的防护能力.甲方为了安全，其拥有的核弹头数x要随乙方的弹头数y的增长而增长。可以假设存在增函数f,当x>f(y)时甲方才感到安全,x=f(y)称为甲方的安全线,同样y=g(x

3、)是乙方的安全线,即当y>g(x)时乙方才感到安全.图16－10乙方安全区甲方安全区B0CA由图16－10可知甲方的安全区和乙方的安全区.二者的公共部分双方都感到安全，即军备竞赛的稳定区域(图中阴影部分).两条安全线的交点为竞争的平衡点。问题在于当第一次打击不可能摧毁对方的假设下，这样的稳定区域存在吗？换言之，两条单调增加的曲线x=f(y)和y=g(x)相交吗？这要求证明并进而讨论,当反导弹和多弹头导弹这类武器出现时，对于平衡点A()将产生什么影响？29为了证明x=f(y)和y=g(x)相交,我们采用如下方法:证明从原点出发的任一直线y=rx(

4、r>0)必与曲线x=f(y)相交,其中x=f(y)从(,0)开始，以递增到无穷的斜率向上弯曲.0Y=rxxY因为不论乙方拥有的核弹头数y是甲方的多少倍(如r倍,r可以充分大),都不能一次毁灭甲方，也就是说在乙方y=rx枚核弹头的袭击下,甲方一枚弹头保存下来的概率p(r)仍然大于零(尽管可以很小),那么甲方只需要拥有枚弹头,就可以感到安全.正是直线y=rx和曲线x=f(y)交点的横坐标.所以y=rx与甲方安全线x=f(y)相交.如图16-11所示.同理,y=rx必与曲线y=g(x)相交.y=g(x)从图16－11(0,y)开始,起斜率递减到零.这

5、样曲线x=f(y)与y=g(x)相交于A()点,这是x和y的最小稳定值.下面我们要讨论，如果某一方使用加固导弹库,反弹道导弹或其他一些手段,两条安全曲线和稳定点A()将如何变化呢?如果甲方由于使用加固导弹库,反弹道导弹或其他一些手段，则它的导弹更不容易遭受突然袭击，这将使甲方任一枚导弹逃脱突然袭击的概率p(r)增大，所以曲线f(y)向左移动，在图16-10中用虚线表示.点不变,此时曲线的形状稍有改变.为了保持稳定，双方只需要更少的导弹，稳定点为B.如果甲方用某种设施，例如反弹道导弹来防护它的城市，这时乙方要对甲方进行致命的打击，就需要比更多的导

6、弹，于是g(x)向上移动.在图16-10中用“”线表示.我们可以看出，要保持稳定，双方都需要更多的导弹，稳定点为C.29图16－12BAyxx=f(y)0如果使用多弹头导弹，此时情况将变得更加复杂.例如,甲方将它的每枚导弹的单弹头改装为N个弹头,那么它所需要的能逃脱偷袭的导弹数可以更少些(需要的数大约是).这样x=f(y)就向左移动。乙方在一次被偷袭中将面临N倍之多的弹头.所以，从乙方的观点来看，X轴的比例尺变化了一个因子N，因而乙方将要更多的导弹。曲线g(x)将向上移动.由图2.10可知,甲方需要的导弹比原来要少些.至于曲线弯曲形状变化的细节

7、，应该用概率模型来代替图解模型，或者把二者结合起来，这就要求对导弹的效能作出更精确的假设，在此不作讨论.二、市场平衡问题市场供求关系是非常复杂的问题,这里假定市场受自由竞争的的供求关系所调节来讨论市场平衡问题.站在消费者的角度,如果市场上某种商品多价格低就愿意多买,反之就少买,然而站在生产者角度,价格低利润少就少生产.这样就造成市场上商品缺乏,价格上涨.对有利可图的商品各厂家又竞相增加生产，这样下去又会出现商品过剩,价格下跌,因此在市场上会出现价格忽高忽低,商品时多时少的现象,那么什么情况下市场趋与稳定?什么情况下市场出现波动,政府应该采取什么

8、措施制止这种状态继续蔓延呢?问题相当复杂，这里只做定性讨论.记Q表示产品数量,P表示产品价格.由消费者所确定的需求曲线D是单调下降的.由生产者所确定的