初等几何中的共圆点问题的讨论

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1、学士学位论文BACHELOR’STHESIS　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　编号学士学位论文初等几何中的共圆点问题的讨论学生姓名：孜来提·吐拉洪学号：20030101029系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2003-3班指导教师：阿布力米提·木沙完成日期：2008年4月30日16学士学位论文BACHELOR’STHESIS中文摘要本文章主要讨论和介绍共圆点的概念，共圆点的几种证明方法和有关的例子。关键词：点共圆，四点共圆，视角，圆内接多边形，共圆点，圆外切多边形。16学士学位论文BACHELOR’STHESIS目　录1II点共圆的概念1㈠.三点共圆1㈡.四点

2、共圆21.证明四点共圆的基本方法42.关于点共圆证法的例子5㈢.多点共圆5III.总结6IV.参考文献7V.致谢1116学士学位论文BACHELOR’STHESIS16学士学位论文BACHELOR’STHESIS如何证明共圆点问题我们在讨论数学问题时经常遇到初等几何中有关共圆点的问题，在中学数学中这些问题虽然没有很详细的讨论，但在初等几何中即使很重要并有很大难度的问题。定义1：在同一圆周上的点称为共圆点，或者说这些点共圆。由于不共线三点决定一个圆，所以不共线三点必为共圆点，通常证明点共圆时要证四个或四个以上的点共圆。我们证明四个点共圆常常利用下列一些方法。方法1：证诸点距

3、一定点等远（例如：有通过一点的三直线一点关于这三条线的对称点为，则是共圆）例1：证明等腰梯形四个顶点共圆。已知：四边形是等腰梯形，，。（图1）图1求证：四点在一个圆上。分析：关键是找圆心，其次说明圆心到四顶点等距。证明：作等腰梯形ABCD的对称轴m和腰的垂直平分线N,m和N交于点O，连接OA，OB，OC，OD.由对称轴的意义可得OA=OB，。由垂直平分线性质得OA=OD。故等腰梯形的四个顶点，在对称轴与一腰垂直平分线交点为圆心的圆上。（A，B，C，D在一个圆上）；16学士学位论文BACHELOR’STHESIS例2：菱形的四边中点共圆。图2已知：、、、四点分是菱形的四边、

4、、、的中点。求证：、、、四点共圆。证明：如图2，连接、，设其交点为，再连接、、、，则在菱形中，。，是的斜边的中点。同法可证、、、都在以为圆心，之长为半径的圆周上（、、、四点共圆）。方法2：如果四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上。图3例3:如图3所示，是的边上的任意一点，在，外接圆的中心分别为、、时，证明、、、四点在同一个圆上。（图3）分析：、、是圆的中心，所以根据已知条件可以讨论关于圆的互补或等角关系。证明：连接、延续，边交于点16学士学位论文BACHELOR’STHESIS，连接，、、、，设与交于。、因为是与的共弦，是于的共弦。所以，，因为。所以且所

5、以因为所以故、、、四点在同一个圆上。图4例4：两圆交于两点，为过之割线交于，交于为与上的任一点，，交于，则，，，共圆。（图4）思考方法：连接，，需证明而问题转化为证明。，分别是四边形与的内角，且是，的外对角的和。于是连接并延长，则问题之解决极为明显。证明：连接并延长，是圆内接四边形，是四边形的外角，16学士学位论文BACHELOR’STHESIS同样是圆内接四边形，是外角，但，，共圆方法3：四边形中如果某两点视角另两点连线段的视角相等，当然这两点要在这线段同一侧，那么这四边形的四个顶点共圆。图521例5：、、是圆内接四边形的、、的中点，与交于，与交于，则、、、四点共圆。（

6、图5）思考方法：要证、、、共圆，只要证明即可。因为、是、的中点，而中位线与底边平行从而能找出与相等的同位角来，所以就导致连结，并得。同样，导致连结，并得这样问题就可转化为证明。这是显然的，因为他们是圆上同弧所对之圆周角，于是问题得以解决。证明：连结,,则，。但，故、、、四点在同一个圆上。（四点共圆）。16学士学位论文BACHELOR’STHESIS方法4：如果四边形的任意一个外角等于它的内对角，则四边形的四个顶点共圆。例6：、、分别是锐角三角形各边的中点，是高在上的垂足。求证：、、、四点共圆。（图6）图6312思考方法：当时，、重合，显然共圆，当时，、、、构成一个四边形，

7、于是连结、、。这时，根据“四边形的外角等于它的内对角，则四边形内接于圆”的判定定理，我们需证。由于是平行四边形的内角于是问题转化为证明这样又可转化为证明，但是直角斜边上的中线。成立。于是问题得以解决。证明：连结、、，则四边形是一平行四边形。连结则,故、、、四点共圆。方法5：利用相交弦定理的逆定理（当两个线段或者它们的延长线互相相交时，如果从每一个线段16学士学位论文BACHELOR’STHESIS的交点到两个端点的距离的乘积相等，则两个线段的四个端点在同一个圆上）来证明四点共圆。如图7图7即与交于点，如果，则、、、四点共圆。方