初等几何作图问题探讨

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1、初等几何作图问题探讨摘要本文主要研究初等儿何作图问题，初等儿何作图问题在中学教学过程中有着尤为重要的地位，它能加强学生分析和全而观察问题的能力，并加深对儿何各部分的理解，所以学习好初等几何作图可以帮助学生更加有效的学习几何问题。它在实际生活也有着重要的作用.本文介绍了初等几何作图闷题的意义以及其体现的价值，介绍了基本作图的五种类型以及证明，还有解决作图问题的几种方法，并且举山具体例子来应用了几何问题作图法。关键词儿何作图，基本类型，轨迹交截法，三角形奠基法，合同变换.1绪论初等几何作图问题是中学数学教材的薄弱环节，但是初等几何作图最能加

2、强学生分析和全面观察问题的能力，并加深对儿何各部分的理解，因此探讨初等儿何作图问题是很有必要的，掌握初等几何作阁的技巧对于屮学生来说相当的重要，它可以帮助学生更加有效的学习几何问题。2初等几何作图问题的定义，意义以及作用假设给了一些条件，而设法求作具备这些条件的图形，这就是初等几何作图I'M）题。完成作图以后，便可以断言具备某些条件的图形存在，或者说在什么样的情况下具备这样条件的图形才能存在，使言之有物。其实解初等儿何作图问题在某种意义上来说就是存在问题的证明。几何作图在学习几何中的重要意义是大家所公认的，几何作图问题的价值有很多：（1

3、）完成一个作图题在学生头脑里能把个别的几何事实具体化，将注意力从字面上的几何命题转到这命题所含有的现实几何关系上来，比如说，在学习了“垂直于弦的半径平分这弦”的定理以后，再做一到简单的题“过圆内一已知点求作一弦使被此点所平分”，学生是不难解决的。巾此，我们可以总结到，如果简单地重复定理的条文来复习巩固这个定理的意义就不大了，但是，用这个定理作为工具來解这个作图题，可以使学生明白到，不仅仅半径垂直于弦，同时，弦也是垂直于半径的，这样就有了积极的意义了。所以说初等几何作图的第一个价值在于，几何作图是建立学生的具体几何观念的重要手段，是克服学

4、生单纯死记硬背定理条文的好办法。（2）儿何作阁可以提供题材，把所学的命题用来解决某些具体问题，使学生学会学以致用，这一点几乎对于几何课的每一章节都适用。解作图题时还经常需要学生有一定的主动性和独立性，也给他们尝试一下自己的能力的机会，因此，初等几何作图的第二个价值在于,它为初等几何课程的几乎每一个章节提供了练习的材料。(3)几何作图的学习给制图学提供了理论基础，它在实践上的意义是不可忽视的。工农业生产经常需要改良工具，创造新的产品，不仅在设计过程屮需要绘图样，在零件加工过程屮，往往也是需要精确而又迅速的作阁技能。(4)在解作图题的过程中

5、，要运用一系列相当复杂的逻辑思维，解作图题的各个部分的术语“分析”“作法”“证明”“讨论”，是其价值的体现。2.1初等几何作图的基本作图的几种类型初等平面儿何的研究对象不外乎直线、圆以及由它们或它们的部分所构成的图形，所以我们作阁工具习惯上是先用直尺和圆规的。仅用直尺和圆规经有限次手续的作阁称为尺规作图或规矩作图或初等几何作图。不能经有限次数使用直尺和圆规完成的作图被称为规矩作图不能I'M)题或不可作I'M)题。所谓不可作问题并非是问题无解，而只是说限用直尺和圆规是不可能的，例如：任意角的三分之一必然存在，但是我们却不能用直尺和圆规做出

6、来。尺规作图的原理有：图形相似、对应角相等、对应边之比相等；图形全等、对应角相等、对应边相等。初屮阶段的儿种基本作阁分别是作一条线段等于已知线段；作一个角等于己知角；平分己知角(即作己知角的平分线)；作线段的垂直平分线；过一点作己知直线的垂线；过一点作己知直线的平行线；求作三角形，已知三边或二边及其夾角或二角及其夹边；平分一•弧。2.1.1作一条线段等于已知线段已知：线段/4B求作：线段使得作法：作射线Af,以，为圆心，以长为半径画弧交射线Am',则，疢就是所求作的线段。2.1.2作一个角等于已知角已知：ZAOB求作：ZA'0'B',使

7、得分析：求作一个角等于己知角只要在的两边上取C,连接CZ),在作射线O'B'，在上取点Z/,使O7/=OD，在利用圆的性质找出Cz点，连接C'D'=CD使AOCD=NO'C'D'即可.作法：(1)作射线(4)以(2)以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C,交OB于点D(3)以点0"为圆心，以OC的长(或OD的长)为半径画弧，交O'B'于D';点ZX为圆心，以CD的长为半径画弧，交前面的弧于点C、(3)过点Cz作射线(//T.ZA7ZS'就是所求作的角.巳巳12.1.3平分已知角〈即作已知角的平分线)已知：ZABC求作：ZASC的

8、平分线作法：(1)以点5为圆心，任意长为半径画弧分别交Afi,BC于D，E;(2)分別以Z),£力圆心，以大于%/)£的长为半径画弧，两弧交于点F;(3)作射线.射线即为Z/lfiC的平分线.BF=BF证明