2017年高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

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1、2017年高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月14日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知集合，则集合中所有元素的和为（）A．B．0C．2D．3【答案】B【解答】由，得。又。因此。所以，集合中所有元素的和为0。2．已知正三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】设，则三棱锥外接球的半径。（第2题图）由，得。∴，三棱锥的体积。3．已知为实数，若存在实数，使得，且，则的取值范围为（）A．B

2、．C．D．【答案】C【解答】由，得∵，∴，即，解得或。10∴的取值范围为。4．、是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的命题的个数是（）（1）对、外任意一点，存在过点且与、都相交的直线；（2）若，，，则；（3）若，，且，则；（4）若，，，，则。A．1B．2C．3D．4【答案】B（第4题图）【解答】（1）不正确。如图，在正方体中，取为直线，为直线。过点的直线如果与直线相交，则在内，此时与直线不相交。（2）、（3）正确。（4）不正确。如图，正方体的面内取两条与平行的直线，如图中的直

3、线与，则有，，，，但与面相交而不平行。5．已知函数，若对任意实数均有，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】依题意，的图像关于直线对称。∴，。于是，，解得。，时，。∴，即。此时，，，符合题意。∴，即时，取最小值。106．已知，，，若，且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】由，得。∴。设，则。∵，∴，解得，即，。∴，即。∴，即。由，知，。∴，解得。因此，。又当时，代入前面解得，。符合题设要求。∴的最小值为。二、填空题（每小题6分，共36分）7．已知定义在上的函数（，且）的值

4、域也是，则的值为。【答案】【解答】当时，在上为增函数，依题意有，方程组无解。当时，在上为减函数，依题意有，解得。所以，。108．如图，在三棱锥中，，，。设与所成的角为，则的值为。【答案】【解答】如图，取中点，连接，。∵，，∴，，。∴，。（第8题图）又由，知是等边三角形。作于，则，且。∴是与所称的角。∴。（第8题图）9．已知，，，点在线段内，且平分，则点的坐标为。【答案】【解答】如图，方程为，设（）。又直线方程为，方程为，平分。∴点到直线、距离相等。∴。（第9题图）解得，（舍去）或。10因此，点坐标为

5、。10．设是定义在上以2为周期的偶函数，且在区间上单调递减。若，，则不等式组的解集为。【答案】【解答】∵是偶函数，且在区间上单调递减。∴在区间上为增函数。又是以2为周期的周期函数，∴在区间上为增函数。又，，以及是以2为周期的偶函数。∴，。又，∴不等式组的解集为。11．已知，定义，，，，，…，则。【答案】【解答】依题意，有，，，……………一般地，有。所以，。12．已知，，，且，则的最大值为。【答案】【解答】由，知10，当且仅当，且，即，时，等号成立。所以，的最大值为。三、解答题（第13、14、15、1

6、6题每题16分，第17题14分，满分78分）13．已知，且当时，恒成立。（1）求的解析式；（2）已知、是函数图像上不同的两点，，且。当、为整数，时，求直线的方程。【解答】（1）依题意，，。∴，且。∴。……………………………4分此时，，可见在区间上的最小值为。∴的对称轴为，即，。∴。……………………………8分（2）由（1）知，。同理。∵，∴。∴。……………………………12分又、为整数，且，∴，或，或。结合，得，。10∴、坐标分别为、。∴直线的方程为。……………………………16分14．过直线：上一点作圆

7、：的两条切线、，、为切点。（1）在上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（2）若直线过原点，求点的坐标。【解答】（1）假设符合条件的点存在。则由，知。∵，，∴。………………………………4分另一方面，由圆心到直线的距离，知。即，矛盾。因此，假设不成立。∴符合条件的点不存在。………………………………8分（2）设为直线上一点。则。∴点、在以为圆心，半径为的圆上，即点、在圆上，即圆上。又点、在圆：上，即圆上。将上述两圆方程联立，消二次项，得。∴直线方程为。……………………12分由直

8、线过原点知，。联立，解得，。∴点的坐标为。………………………………16分1015．如图，为锐角三角形，于，为的垂心，为的中点。点在线段上，且。（1）求证：；（2）求证：。【解答】（1）由条件知，，，∴、、、四点共圆。∴。………………4分∵为的中点，∴，。延长交于点。由为的垂心知，。（第15题图）∴。∴。又，，∴。………………………………8分（2）由（1）知，。又，∴。∴。……………………12分又，（第15题图）∴。又，∴。∴。………………………………16分1016．已