2013年广西高一数学竞赛初赛题参考答案及评分标准

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1、2013年广西“创新杯”数学竞赛高一初赛试题参考解答及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分）xyz1．已知实数a,b,c两两不等，若==，则实数x+y+z=（）.a−bb−cc−a1（A）－1（B）0（C）（D）32xyz答：B.解析：设===k，则有x=k(a−b),y=k(b−c),z=k(c−a)，于是有a−bb−cc−ax+y+z=0.2352．化简−−=（）.3−232−2323−2（A）0（B）1（C）2（D）3答：A.解析：分母有理化得：235−−3−232−2323−235=2(3+2)−(32+23)×−(23+2)

2、610=063．已知集合A={x

3、∈N,x∈Z}，则集合A中的元素个数为（）.3−x（A）1（B）2（C）3（D）46答：D.解析：A={x

4、∈N,x∈Z}={−3,0,1,2}.3−x4．从1，2，…7中选择若干个数，使得其中偶数之和等于奇数之和.则符合条件的取法有（）种.(A)6(B)7(C)8(D)9答：B.解析：注意到，2+4+6=12，故所取出的数之和不大于24.又12=2+4+6=5+7，10=4+6=3+7，8=2+6=1+7=3+5，6=6=2+4=1+5，4=4=1+3，故有7种取法.2225．若a∈R,a+a<0，那么

5、a,a,−a,−a的大小关系为（）.22222222（A）a>a>−a>−a（B）−a>a>−a>a（C）−a>a>a>−a（D）a>−a>a>−a222答：B.解析：由a+a=a(a+1)<0⇒−1a，又−a>a，得B.123420136．观察下列各式：则7===49,7343,72401，…，则7的末两位数字为（）.（A）01（B）43（C）07（D）49x答案：C.解析：f(x)=7，f(1)=7,f(2)=49,f(3)=343,f(4)=2401,f(5)=16807,?，f(2013)=?07。二、填空题（每

6、小题9分，共54分）432221．若x+Ax+Bx−8x+4=(x+Cx+D)，则A+B+C+D＝.答案：4.43222解析：由x+Ax+Bx−8x+4=(x+Cx+D)得，43243222x++−+=+++AxBx84xx2Cx(2)2CDx++CDxD.22于是AC==2,BCD+−2,82,4==CDD.从而解得“D=2，C=-2，B=8，A=-4，或者D=-2，C=2，B=0，A=4”.因此答案为4.2．方程x−5+x+1=0的根为.2答案：x=3。解析：令y=x+1，代入x−5+x+1=0得y+y−6=0，解得y=2或y=−3(

7、增根，舍去)，即x=3.2x+xy+3y3．若实数x>0,y>0，且x(x+y)=3y(x+5y)，则＝.x+xy−y答案：2.解析：由x(x+y)=3y(x+5y)得x=5y或Ax=−3y(舍去)，即x=25y，代入式子得结果.DFG4．在△ABC中，D在AB上且使得AD:DB=1:2，而点G在CD上且使得BCCG:GD=3:2，若BG交AC于F，则BG:GF＝.A答案：4:1.ED解析：过点D作DE//BF交AC于E，则△ADE∽△ABF，FG所以AD:AB=DE:BF=1:3，又△CGF∽△CDE，BC所以CG:CD=GF:DE=3

8、:5，故5GF=BF，即BG:GF＝4:1.225．已知二次函数y=(m+2)x−x+m+4的图象与x轴的交点在y轴的一左一右，则实数m的取值范围为.⎧m+2>0⎧m+2<0答案：−206．一只小船顺流航行在甲、乙两个码头之间需2小时，逆流航行这段路程需3小时，那么一木块顺水漂流这段路需___________小时.答案：12.解析：设小船自身在静水中的速度为v千米/时，水流速度为x千米/时，甲乙之间SSSS的距离为S千米，于是有vx+=，求vx−=得2x=所以=12.2

9、36x(命题人:广西恭城县恭城中学数学组韦兴洲)三、（20分）在△ABC中，角C为直角，AD//BC，ADED=2AB，2求证：∠ABE=∠ABC.E3BC证明：取ED的中点F，连AF。AD则∠AFB=2∠ADE=2∠EBC，……5分F又AF=AB，所以∠AFB=∠ABE，……10分E2所以∠ABE=∠ABC.……20分BC3四.（20分）2已知x、、yz均为非负数，且满足y+zy−=−−=142zx.若wxyz=−+22，求w的最小值.23解：由题设得yx=−，yx=−≥230，zx=−230+≥.则≤x≤…………10分32222而wx

10、yzxx=−+=−+=−−222872(2x)1……………………………15分31故当x=时，w=−………………………………………………20分min22五.（20分）已知二次函数f()x满足f(