2010年广西高二数学竞赛初赛题参考答案及评分标准 - 高二初赛题

2010年广西高二数学竞赛初赛题参考答案及评分标准 - 高二初赛题

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1、2010年广西高二数学竞赛初赛题参考答案及评分标准一、选择题(每小题6分,共36分)1、解:由条件,有所以,当时,.故选C.2、解:因,所以,.又因,所以,从而.故选A.3、解:分别画出三个函数的图像,并求出它们的交点坐标.从图像观察可得函数的表达式如下:,再从的图像观察可知,所求最小值等于。故选A.4、解:选(C).由已知,,显然,且=,;又,。5、解:选(A).对于有于是从而故.对于易得共4页第4页则可得故从而6、解:易知数列的各项被64除所得余数为2,16,2,48,2,16,2,48,…,这是以4为周期的数列,故与被64除所得余数应相同.选C

2、.二、填空题(每小题9分,共54分)1、解:设为两个方程的公共实根,即……①,……②,由①,……③,所以……④将③代入②,得……⑤,从③,⑤消去,得.概括起来,即得且.反之,对于满足此条件的数组必满足①和②.故所求充要条件是且.2、解:令,则或,又,故.3、解:由已知,.令,则,且.于是,即.因也满足上式,故所求通项为.4、解:填.取又===4=共4页第4页其中等号当且仅当即时成立,此时,所以的最大值是,所以。5、解:由已知等式去分母得,化简得,又,所以,故。6、解:由方程组,得,故两图形的交点在直线上,即,因此。三、解:显然,如果中至少有一个为零,

3、方程组无解,    ……5分由知同号,若,则与矛盾,……10分故只能均为正数.又由均值不等式知,           ……15分即,因此,方程组只有一组解:.           ……20分四、解:建立如图的平面直角坐标系,设,则,,于是,,     ……5分共4页第4页所以,由得,            ……10分即 ,解得或,        ……15分又,所以实数的取值范围是。        ……20分五、证明:用反证法证明. 假设,         ……5分则由都是整数及 知和都是正整数.           ……10分如果,那么和的积小于20

4、10,从而它们都小于2010,                ……15分这与已知矛盾.故,即.             ……20分共4页第4页

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