2010年广西高二数学竞赛初赛题参考答案及评分标准 - 高二初赛题

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1、2010年广西高二数学竞赛初赛题参考答案及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分）1、解：由条件，有所以，当时，.故选C.2、解：因，所以，.又因，所以，从而.故选A.3、解：分别画出三个函数的图像，并求出它们的交点坐标.从图像观察可得函数的表达式如下：，再从的图像观察可知，所求最小值等于。故选A.4、解：选（C）.由已知，，显然，且=，；又，。5、解：选（A）.对于有于是从而故.对于易得共4页第4页则可得故从而6、解：易知数列的各项被64除所得余数为2，16，2，48，2，16，2，48，…，这是以4为周期的数列，故与被64除所得余数应相同.选C

2、.二、填空题（每小题9分，共54分）1、解：设为两个方程的公共实根，即……①，……②，由①，……③，所以……④将③代入②，得……⑤，从③,⑤消去，得.概括起来，即得且.反之，对于满足此条件的数组必满足①和②.故所求充要条件是且.2、解：令，则或，又，故.3、解：由已知，.令，则，且.于是，即.因也满足上式，故所求通项为.4、解：填.取又===4=共4页第4页其中等号当且仅当即时成立，此时，所以的最大值是，所以。5、解：由已知等式去分母得，化简得，又，所以，故。6、解：由方程组，得，故两图形的交点在直线上，即，因此。三、解：显然，如果中至少有一个为零，

3、方程组无解，　　　　……5分由知同号，若，则与矛盾，……10分故只能均为正数.又由均值不等式知，　　　　　　　　　　　……15分即，因此，方程组只有一组解：.　　　　　　　　　　　……20分四、解：建立如图的平面直角坐标系，设，则，，于是，，　　　　　……5分共4页第4页所以，由得，　　　　　　　　　　　　……10分即　，解得或，　　　　　　　　……15分又，所以实数的取值范围是。　　　　　　　　……20分五、证明：用反证法证明.　假设，　　　　　　　　　……5分则由都是整数及　知和都是正整数.　　　　　　　　　　　……10分如果，那么和的积小于20

4、10，从而它们都小于2010，　　　　　　　　　　　　　　　　……15分这与已知矛盾.故，即.　　　　　　　　　　　　　……20分共4页第4页