广西高二数学竞赛初赛试卷.doc

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1、2010年广西高二数学竞赛初赛试卷一、选择题（每小题6分，共36分）1、设[x]表示不大于x的最大整数，集合（B）.A{x

2、x22[x]3}，B{x

3、182x8}，则AB=A.{1,6}B.{1,7}C.{1,6}D.{1,6,7}解：由xAB，知x22[x]3，所以[x]只可能取-3，-2，-1，0，1，2.3x3经检验知，[x]只可能取-1，2，故x1,7.故选B.2、已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足PAPBPC0，若实数λ满足：ABACAP,则则值的为值为（C）3A.2B.2C.3D.6解：由PAPBPC0知，点P为△ABC的重心，故有AB

4、AC3AP，所以选C。3、已知{a}是等比数列，a2,a1，则aaaaaa(n1,2,)的取值范围是n（D）.3612234nn1A.[128,168)64128B.[,)33128C.[16,)3128D.[32,)3解：易知公比q121，所以a8，从而数列{aa}是以aa32为首项，q为公比的等比21nn1124数列.于是，利用前n项和公式不难得出32aaaaaaaa128.故选D.121223nn134、设asin(sin2010),sin(cbos2010),cos(sin2010)c,cdos(cos2010)，则a,b,c,d的大小关系是

5、（B）.A.abcdB.badcC.cdbaD.dcab解：因2010536018030，所以asin(sin30)sin(sin30)0,bsin(cos30)sin(cos30)0ccos(sin30)cos(sin30)0,dcos(cos30)cos(cos30)0又sin30cos30，故badc.选B.5、若关于x的方程x2ax1a0在区间[2,)上有解，则a的取值范围是（D）.52545A.(1,)B.[,]C.(,2]D.[,)33333解：由原方程，有a2x1(x1)22.令tx13，则x1x1af(t)t22(t3)t55由于f(t

6、)在[3,)上为单调增函数，因此af(3)，即当a时原方程在区间[2,)上33有解.故选D.6、已知函数f(x)满足：f(p+q)=f(p)f(q)，f(1)=3，则2f(1)f(2)+f2(2)f(4)+f(3)f(6)+f(4)f(8)+f2(5)f(10)2的值为（B）2f(1)f(3)f(5)f(7)f(9)A.15B.30C.75D.60解法1：由f(p+q)=f(p)f(q)，f(1)=3，得f(2)=32，f(3)=33，f(4)=34，f(5)=35，f(6)=36，，从而有2f(1)f(2)+f2(2)f(4)+2f(3)f

7、(6)+f2(4)f(8)+f2(5)f(10)＝30。故选B.f(1)f(3)f(5)f(7)f(9)解法2：由f(p+q)=f(p)f(q)，f(1)=3，令f(x)3x，从而有2f(1)f(2)+2f(2)f(4)+f(3)f(6)+f(4)f(8)+f2(5)f(10)2＝30。故选B.2f(1)f(3)f(5)f(7)f(9)二、填空题（每小题9分，共54分）1、某运动会开了n天（n>1），共颁发了m个奖牌，第一天发出1个加上余下的（m-1）个的1，7第二天发出2个加上余下的1；如此继续到n-1天，第n天发出n个，恰好把奖牌

8、发完。则7mn.解：设k天后，剩下ak个奖牌，则第k天发出奖牌数为k1(ak17k)。故akak1[k71(ak17k)]所以ak1kak。即6a7m116127361(7)67(26n27a)26m(76)n1(7)na6因为an0，所以m36(n6)(7n)。又因为m6N，故n=6,m=36.2、用1，2，3，4，5排成一个五位数，使任意相邻数码之差至少是2，则这种五位数有个。解：填14.先排该五位数的中间数，共有以下14个数满足要求：24135,24153,35142,53142，14253,35241,25314,41352,31425,52

9、413，13524,31524,42513,42531.3、方程cos(15)cos(3)在[0,]上的根的个数为.解：令x3，则x[0,3].方程变为cos5xcosx，所以5x2kx，即xk或x2k(kZ).3当x为的整数倍时，同时满足上面两式且在[0,3]上的有4个值；当x不是的整数倍时，在[0,3]上有3个值满足x因此，原方程在[0,]上共有4+3+6=13个根.kk，有6个值满足x.234、在1到2010的所有正整数中，满足1222n2整除