2010年广西高二数学竞赛初赛试卷

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1、智浪教育--普惠英才文库2010年广西高二数学竞赛初赛试卷一、选择题（每小题6分，共36分）1、设表示不大于的最大整数，集合，，则=（B）.A.B.C.D.解：由，知，所以只可能取-3，-2，-1，0，1，2.经检验知，只可能取-1，2，故.故选B.2、已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足，若实数λ满足：则的值为（　C　）A.2B.C.3D.6解：由知，点P为△ABC的重心，故有，所以选C。3、已知是等比数列，，则的取值范围是（D）.解：易知公比，所以，从而数列是以为首项，为公比的等比数列.于是，利用前项和公式不难得出.故选D.4、设，则的大小关系是（B）.解

2、：因，所以6智浪教育--普惠英才文库又，故.选B.5、若关于的方程在区间上有解，则的取值范围是（D）.解：由原方程，有.令，则由于在上为单调增函数，因此，即当时原方程在区间上有解.故选D.6、已知函数f(x)满足：f(p+q)=f(p)f(q)，f(1)=3，则++++的值为（　B　）A.15B.30C.75D.60解法1：由f(p+q)=f(p)f(q)，f(1)=3，得f(2)=32，f(3)=33，f(4)=34，f(5)=35，f(6)=36，……，从而有++++＝30。故选B.解法2：由f(p+q)=f(p)f(q)，f(1)=3，令，从而有++++＝30。故选B

3、.二、填空题（每小题9分，共54分）1、某运动会开了天（>1），共颁发了个奖牌，第一天发出1个加上余下的（-1）个的，第二天发出2个加上余下的；如此继续到-1天，第天发出个，恰好把奖牌发完。则.解：设天后，剩下个奖牌，则第天发出奖牌数为。故所以。即6智浪教育--普惠英才文库因为，所以。又因为，故=6,=36.2、用1，2，3，4，5排成一个五位数，使任意相邻数码之差至少是2，则这种五位数有个。解：填14.先排该五位数的中间数，共有以下14个数满足要求：24135,24153,35142,53142，14253,35241,25314,41352,31425,52413，13

4、524,31524,42513,42531.3、方程在上的根的个数为________.解：令，则.方程变为，所以，即或.当为的整数倍时，同时满足上面两式且在上的有4个值；当不是的整数倍时，在上有3个值满足，有6个值满足.因此，原方程在上共有4+3+6=13个根.4、在1到2010的所有正整数中，满足整除的所有正整数的和为。解：填1，由于有求和公式：，由题意，得又，，。5、在中，分别是角所对边的边长，若，则的值是_______.解：由已知等式，有6智浪教育--普惠英才文库，即.由正弦函数的有界性及为三角形内角可知，，从而，所以，因此.6、若函数（a>0且a1）是奇函数，则=。

5、解：填+1.由奇函数的性质，知，即解得（舍去负值），于是又0==+=于是恒成立，故.三、解答题（每小题20分，共60分）1、已知函数，对定义域内的任意都有成立．（1）求实数的值；（2）若当时，的取值范围恰为，求实数的值．解：（1）由及可得：，解之得：．当时，函数无意义，所以，只有．--------------------------------------10分6智浪教育--普惠英才文库（2）当时，，其定义域为.或．①若，则．为研究时的值域，可考虑在上的单调性．下证在上单调递减．任取，且，则又，所以，，即．所以，当，在上单调递减-----------------------

6、-------------------15分由题：时，的取值范围恰为，所以，必有，解之得：（因为，所以舍去）②若，则．又由于，所以，．此时，同上可证在上单调递增（证明过程略）．所以，在上的取值范围应为，而为常数，故的取值范围不可能恰为．所以，在这种情况下，无解．综上，符合题意的实数的值为，。---------------------------------------20分2、如右图，过点P任作⊙的两条割线直线交于，弦交直线于求证：证明：由∠∠∠6智浪教育--普惠英才文库得四点共圆。------------5分由得四点共圆.----------------10分连接则∠∠∠

7、∠----------------------------15分于是又所以,则---------------------20分3、证明：方程有唯一一组整数解.证明：易知是方程的一组整数解.-------------------------5分而对于方程的任一组整数解，显然.令，则，知，令，代入得.因此，只要证明方程没有使的整数解，否则，将有一组这种解使取最小正值.-----------------------------------------------------10分因为偶数，所以同奇偶，但若同为奇数，则，从