2016年广西“创新杯”数学竞赛高二初赛试题答案及评分标准

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1、2016年广西“创新杯”数学竞赛高二初赛解答考试时间：2016年9月25日(星期日)8：30--11：00一、选择题（每小题6分，共36分，请将答案的序号填写在第二页答题区选择题相应题号后面的括号内）．1.D2.A3.C4.C5.B6.A21．已知集合A={xx−1≤10，x∈Z}，B={yy=−x+1，x∈R}，则A∩B的非空真子集有（）A．31个B．30个C．15个D．14个答案：D解析：由条件知，A=−{2，，，，，−101234，}，B=−∞(，1]，进而得到4A∩B=−{2，，−101，}．所以A∩B的非空真子集有2−=214个．（命题组

2、提供）2x−2x+4，x≤3，2．若函数fx()=（a>0，且a≠1）的值域为[3，+∞)，则实2log+x，x>3，a数a的取值范围为（）A．(13，]B．(13)，C．(3，+∞)D．[3，+∞)答案：A22解析：∵x≤3时，函数fx()=x−2x+=4(x−1)+3的值域为[3，+∞)，∴x>3时，2log+x≥3，即x>3时，logx≥=1loga．aaa∴a>1，且x>3时，x≥a恒成立．∴1

3、）A．1B．2C．3D．−1答案：C．a−30解析：g(1)=−a3，fg[(1)]=fa(−3)=2==12，所以a−3=0，即a=3．（恭城中学韦兴洲提供）4．已知两点A(1，2)，B(3，1)到直线L的距离分别是,25−2，则满足条件的直线L共有（）条．A．1B．2C．3D．4第1页共1页答案：C解析：由AB=,5分别以A，B为圆心，,25−2为半径作两个圆，则两圆外切，有三条公切线．（南宁三中数学组提供）5．一个正方形ABCD的每一个角都有一个机器人，每个机器人开始时都沿着正方形的边随机的朝另一个机器人作直线运动，则机器人不相撞的概率（）1

4、1151A．B．C．D．281616答案B1解析：选择机器人A作为参照标准，当A确定运动方向时，BCD,,有的概率21111与A相同，所以避免相撞的概率为××=．2228(柳州高中数学组提供）6．已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等比数列，且公比q≠1，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则q＝()．1＋5－1＋51＋5A．或B．222－1＋51−5C．或D．1＋522答案A23解析：由题意知a1＞0，q＞0，若删去a1，得2a1q＝a1q＋a1q，解得q＝1(舍去)；1＋5232若删去a2，得2a1q＝a1＋a1q，

5、即(q－1)(q－q－1)＝0，解得q＝；若删2－1＋532去a3，得2a1q＝a1＋a1q，即(q－1)(q＋q－1)＝0，解得q＝；若删去a4，21＋5－1＋52得2a1q＝a1＋a1q，解得q＝1(舍去)，综上可得q＝或q＝．w122（命题组提供）-二、填空题（每小题9分，共54分，请将答案填写在第二页答题区填空题相应题号后面的横线上）7.−<4m<08.19.3610.±1511.1或－３12.57第2页共2页2xx+17．已知方程5−5=m有一正一负两个实数根，则实数m的取值范围是．答案：−<4m<0．x2解析：令t=5，则原方程化为t−

6、5tm−=0（t>0）．2根据题意，方程t−5tm−=0有一个大于1的实根和一个小于1的正实根．f(0)=−m>0,2令ft()=t−5tm−，则⇒−<4m<0.2f(1)1=−×−51m<0,（恭城中学韦兴洲提供）22→→8．在锐角△ABC中，若BC＝2，sinA＝，则AB·AC的最大值为．3答案：122214解析：由余弦定理，得a＝b＋c－2bc×＝4，由基本不等式可得4≥bc，即bc≤3，33→→1所以AB·AC＝bccosA＝bc≤1．（命题组提供）39.正三棱柱的六个顶点两两连线，则异面直线有对．答案：36解析：一个四面体有3对异面

7、直线，在正三棱柱的六个顶点中可构成12个四面体，所以共有31236×=对异面直线．（柳州高中数学组提供）1+cos2xxx10．若函数f(x)=−asincos(π−)的最大值为2，则实数a的值π224sin(+x)2为．答案：±15．222cosxxx1a1a解析：f(x)=+asincos=cosx+sinx=+sin(x+ϕ)，其中角4cosx222244211aϕ满足sinϕ=，由已知有，+=4，解得a=±15．1+a244（命题组提供）2211．已知直线lx:−+=y30被圆C(:x−a)+(y−)2=4截得的弦长为22，则a的值为．第3

8、页共3页答案：1或−3．a−2+3a+122222解析：圆心(a)2,到直线l的距离d==．所以有d+()=r，即222(