第三章参数估计和假设检验

《第三章参数估计和假设检验》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三章参数估计和假设检验主要内容点估计方法代替法、极大似然估计法区间估计单个正态总体均值和方差的区间估计两个正态总体均值差和方差比例的区间估计单个总体比率和两个总体比率差的区间估计假设检验单个正态总体均值与方差的检验两个正态总体均值差与方差比的检验单个总体比率和两个总体比率差的区间估计第一部分参数估计一、点估计方法1.代替原则：频率代替和矩法（1）频率代替用观察的频数代替总体比率的估计值。主要用于处理离散数据。比如投掷硬币正面朝上的频率。（2）矩法设x1，…，xn是N（，2）的一个样本，因此E（xi）=，D（xi）=2，i=1，2，…，n，，2是总体的一阶原点矩

2、和二阶中心矩。用样本的一阶原点矩（即样本均值）去估计总体的均值。用样本的二阶原点矩去估计总体的二阶原点矩2＋2。于是可得到近似关系式由上式解出与2的估计量例1：设总体X的分布密度为：样本为（X1，X2，…，Xn）,用矩法估计参数解：2．极大似然估计（简记MLE）设x1，…，xn是抽自密度为f（x；）的一个样本，则x1，…，xn的联合密度为f（x1；）f（x2；）…f（xn；）。这时x1，…，xn被视为变量，被视为常量。如果把样本观察值x1，…，xn视为常量，将要估计的视为变量，f（x1；）f（x2；）…f（xn；）被称为的似然函数，记为L（；x1

3、，…，xn）。即极大似然估计的基本原理根据样本的具体情况来选择估计参数，使样本出现的可能性最大，这种选择使得出现概率最大的那个估计值作为参数的估计量。概率最大的事件最可能出现。求解方法构造似然函数；对似然函数求偏导解似然方程组例2.设x1，…，xn是抽自N（，2）的随机样本，求，2的极大似然估计。解：样本观察值x1，…，xn的联合密度，即似然函数为在一般情况下，由于L的最大值点与lnL的最大值点是相同的，可对L取对数。由于似然函数中有两个未知参数，对其求偏导并令其为0解此方程组得于是得到和2的极大似然估计二、评价估计量好坏的标准无偏性若参数的估计量有效性一致性参数

4、估计习题1．随机地抽取8只活塞，直径为（单位mm）：74.001,74.005,74.003,74.000,74.001,73.993,74.006,74.002,试求总体均值μ和方差的矩估计量；并求样本方差。解：2．设总体服从区间[0，θ]上的均匀分布，其密度函数为：X1,X2，…Xn为样本，试用矩法估计均值和方差，以及参数θ的估计量。解：3．设X1,X2，…Xn为样本，求下列总体未知参数的矩估计和极大似然估计三、区间估计单个正态总体均值和方差的区间估计两总体均值之差和方差的区间估计单个总体比率和两个总体比率差的区间估计区间估计步骤明确待估参数和置信度用参数的点估计导出估计量

5、的分布利用估计量的分布给出置信区间。1．总体均值的区间估计（1）正态总体，方差已知当方差2已知，此时样本均值当给定显著性水平时，有（2）当总体分布未知，或非正态分布时，样本如果为大样本（n>50时），认为样本均值近似地服从正态分布，用样本方差来估计总体方差。例3某县1997年抽样调查了400户农民家庭的人均年化纤布消费量，得到均值为3.3米，标准差为0.98米。试以95％的置信度估计该县1987年农民家庭年人均化纤布的消费水平。解：由题意，虽然总体未知，但n=400属于大样本，可用Z统计量进行区间估计，即将各数值代入，得到置信区间为[3.204,3.396]故我们有95％

6、的把握保证该县1997年农民家庭年人均化纤消费量为3.204米到3.396米。(3)正态总体中，均值和方差2均未知要用小样本估计时，也要用样本方差S2代替2，此时不能应用标准正态分布的Z统计量，而应该用t统计量，即则均值的1－的置信区间为例4铅的比重测量值是服从正态分布的。现测量了16次，得到样本均值＝2.705，S＝0.029。若置信度为95%，试求铅的比重的置信区间。解：根据已知n=16，样本均值＝2.705，S＝0.029，且从附录查到铅比重的置信区间为[2.690，2.720]。例5：已知一批产品的均值为μ，方差为0.52，问至少应抽取多大容量的样本，才能使

7、样本均值和总体均值的绝对误差，在置信度不低于95%的条件下小于0.1？解：2．两总体均值之差的区间估计两方差已知两方差未知，是大样本，用样本方差代替总体方差两方差未知，小样本，但两方差相等，用t统计量。（1）方差已知，样本服从由样本的独立性可知，（2）方差未知时，但两个样本都是大样本，则不论总体分布的情况如何，可用样本方差代替总体方差，在给定后，置信区间为例6从某市近郊区和远郊区各自独立地抽取了50户农民家庭，调查每户年末手存现金和存款余额。经计算得：均值分别为650元，480元，S1＝1