抽样分布参数估计和假设检验

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1、抽样分布一、抽祥分布的理论及定理（一）抽样分布抽样分布是统计推断的基础，它是指从总体屮随机抽取容量为〃的若干个样本，对每一样本可计算其Z:统计量，而&个统计量构成的分布即力抽样分布，也称统计量分布或随机变量函数分布。（二）屮心极限定理中心极限定理是用极限的方法所求的随机变量分布的一系列定理，其内容主要反映在三个方面。1.如果总体呈正态分布，则从总体中抽取容量为〃的一切可能样本时，其样本均数的分布也呈正态分布；无论总体是否服从正态分布，只要样本容量足够大，样本均数的分布也接近正态分布。_2.从总体中抽収容量为〃的一

2、切可能样本时，所有样本均数的均数（Af）等于总体均数（A）即3.从总体中抽取容量为/I的一切可能样本时，所有样本均数的标准差等于总体标准差除以样木容量的算数平方根，即中心极限定理在统计学中是相当重要的。因力许多问题都使用正态曲线的方法。这个定理适于无限总体的抽样，同样也适于有限总体的抽样。屮心极限定理不仅给出了样本均数抽样分布的正态性依据，使得大多数数据分布都能运用正态分布的理论进行分析，而且还给出了推断统计屮两个重要参数（即样本均数与样本标准差ff）的计算方法。（三）抽样分布屮的几个重要概念1.随机样本。统计学

3、是以概率论为其理论和方法的科学，概率又是研究随机现象的，因此进行统计推断所使川的样•本必须力随机样本（randomsample）。所谓随机样本是指按照概率的规律抽取的样本，2.抽样误差。从总体屮抽収容量力〃的&个样本吋，样本统计量与总体参数之间总会存在一定的差距，而这种差距是由于抽样的随机性所引起的样本统计量与总体参数之间的不同，称为抽样误差。3.标准误。样本统计量分布的标准差或某统计量在抽样分布上的标准差，符号SE或^7又表示。根据屮心极限定理其标准差为正如标准差越小，数据分布越集屮，平均数的代表性越好。同理，

4、在推断统计屮，标准误越小，说明样本统计量与总体参数的之间越接近，即样本对总体的代表性越好，这时用样本统计量去推断总体就越可靠、越准确；相反，标准误越大，说明样本统计量与总体参数之间的差距越大，即样本对总体的代表性越差，这时用样本统计量去推断总体就越不nJ•靠、越不准确。所以说标准误是进行统计推断可靠性高低的指标。4.自由度。一群数据或观测值可以独立自由变动的数目称为自由度，用符号#或Y表示。df=N~i9即有方差E(x-x)2N-二、常用抽样分布在心理与教育统计中，常用的抽样分布有正态分布、渐近正态分布、f分布

5、、F分布、7分布和/2分布等等。（一）正态分布及渐近正态分布当统计量的分布符合正态分布或渐近正态分布时，进行统计推论的理论依据即为正态分布的理论。以样本平均数为例，正态分布的应用情形如下。1.总体呈正态，总体方差己知，则样本均数的分布也呈正态。根据屮心极限定理则有①样本均数的均数等于总体均数，即ogx=②样本均数的标准差等于总体标准差除以样本容量的平方根，即Vh③差异检验值为SEx2.总体呈非正态，总体方差己知，样本容量足够大，样本均数的分布为渐近正态分布。根据中心极限定理，亦有①样本均数的均数等于总体均数：G②

6、样本均数的标准差等于总体标准差除以样本容量的平方根。V/7Z③检验值（二）f分布1.f分布的定义f分布是由小样本统计S形成的概率分布。2.力分布的特点①t分布也是对称分布。即平均数位于曲线的中央，在这一点上有一个单峰，从中央向两侧逐渐下降，尾部无限延长，但不与基线相交。②f分布曲线的形状易变，曲线不是一条而是一族，其曲线形状随着样本容量的变化而有规律地变动，即随自由度的大小而变化。③理论上，当n—m时，f分布曲线以标准正态曲线为极限，即呈正态分布。当逐渐减少时，分布的离散程度逐渐增大，曲线逐渐与标准正态分离；其峰

7、顶逐渐下降，尾部抬高。如图7-13所示④r分布的H直及对应的概率值（厂）是根据自由度的大小由理论模型推导出來的，构成f分布临界值，表见附表4。3.f分布的应用1〉总体正态，cr2未知，且n<30时，样本平均数的分布呈f分布。f分布的标准误为SE.=~^=SE.=或4n因为总体标准差C未知，只能以样本标准差&来代替。而样本标准差S«与总体标准差的差距较大，统计学家发现总体标准差的良好无偏估计量为S«-i,即_EEH人-叫N-l所以用代替C则有上式。f分布的检验值为卜—hSE,2）总体呈非正态，未知，M〉30时，则样

8、本均数的分布呈f分布或渐近正态分布,其①样本均数的标准误为SEX-=~^=SE^=或4n检验值为此外，当C2未知时，两个样本均数之差（Xl~X2）的分布、相关系数的分布、回归系数的分布等也服从近似正态分布。参数估计第一节统计推断的有关问题一、什么是推断统计推断统计就是指巾样本资料去推测相应总体情况的理论与方法。也就是巾部分推全体,由己知推未知的过程。推断统计根据推测的性质