卡氏定理与超静定

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1、Tuesday,June29,2021材料力学第12章能量法与超静定问题第十二章能量法§12-1概述§12-2杆件变形能的计算§12-3卡氏定理§12-4能量法解超静定问题§12-1概述一、能量方法二、基本原理能量法是求位移的普遍方法，可以求结构上任意点沿任意方向的位移。§12-2杆件变形能的计算1、轴向拉压的变形能2、扭转杆内的变形能纯弯曲横力弯曲3、弯曲变形的变形能θMeMeMeMe4、组合变形的变形能二、变形能的普遍表达式——克拉贝隆原理（只限于线性结构）F--广义力包括力和力偶δ--广义位移包括线位移和角位移213设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位

2、移.作用有外力：F1，F2，，Fi，相应的位移为：1，2，，i，§12-3卡氏定理F1F2F3结构的变形能只给Fi一个增量Fi.213F1F2F3原有的所有力完成的功为结构应变能的增量为(a)(b)由式(a)=(b),可得：，而总的变形能应为：如先作用而后作用F1、F2…。由于的作用，弹性体内所产生的变形能为：在的作用过程中，由不因先前作用了而有所改变，同时由于在这一过程中始终作用在弹性体上，因此该过程中，弹性体内再次产生的变形能应为：对弹性体的作用效果并F1、F2…F1、F2…略去二阶微量：，求得：——卡氏定理。(1)卡氏第二定理只适用于线性弹

3、性体说明(2)Fi为广义力，i为相应的位移一个力一个力偶一对力一对力偶一个线位移一个角位移相对线位移相对角位移卡氏第二定理的应用轴向拉、压扭转弯曲平面桁架组合变形例12-1图示各杆的直径均为d，材料的弹性常数E、G。试用卡氏第二定理求A端的铅垂位移（不计剪力对位移的影响）。解：AB段的弯矩方程及其对F的偏导数分别为lCBAFaxxzyO（0≤x≤l），①直接求位移A端的铅垂位移为，，BC段的弯矩和扭矩方程及其对F的偏导数分别为lCBAFax例题12-2圆截面杆ABC，（ABC=90°）位于水平平面内，已知杆截面直径d及材料的弹性常数E,G.求C截面处的铅

4、垂位移.不计剪力的影响。ABCalq②附加力法求位移BC：弯曲变形xABCalqFxAB：弯曲与扭转的组合变形ABCalq例12－3图a所示梁的材料为线弹性体，弯曲刚度为EI。用卡氏第二定理求中间铰B两侧截面的相对转角。不计剪力对位移的影响。③相对位移的计算在中间铰B两侧截面处各加一个外力偶矩MB，并求出在一对外力偶MB及q共同作用下梁的支反力（图b）。解：B截面两侧的相对转角，就是与一对外力偶MB相应的相对角位移，即（0

5、C段例12－4图a所示为一等截面开口圆环，弯曲刚度为EI，材料为线弹性。用卡氏第二定理求圆环开口处的张开量D。不计剪力和轴力的影响。圆环开口处的张量就是和两个F力相对应的相对线位移，即（←→）用角表示圆环横截面的位置，并规定使圆环内侧受拉时弯矩为正，则弯矩方程及其对F的偏导数分别为解：，结果为正，表示广义位移方向和广义力的指向一致。（）←→利用对称性，由卡氏第二定理，得例12-5图示刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力对位移的影响。试用卡氏第二定理求A截面的铅垂位移DAy。解：由于刚架上A,C截面的外力均为F，求A截面的铅垂位移时，应将A处的力F和C处的力F区别

6、开（图b），在应用卡氏第二定理后，令FA=F。(a)FABll/2l/2FCD(FA=F)(b)xFAABCDFy1y2同名力的处理即AB段（0≤x≤l）M(x)=−FAx,各段的弯矩方程及其对FA的偏导数分别为BC段（0≤y1≤l/2）M(y1)=−FAl,(FA=F)(b)xFAABCDFy1y2CD段（0≤y2≤l/2）M(y2)=−FAl−Fy2,令以上各弯矩方程中的FA=F，由卡氏第二定理得（↓）RB去掉多余约束代之约束反力，得基本静定系RB为多余反力例题12-6如图所示，梁EI为常数，试求支座反力.ABlqAqB(2)变形条件：B点的挠度为(a)§12-4

7、用能量法解静不定问题一、解除多余约束法(4)令yB=0,得RBAqBx(3)用卡氏定理求yB例12-7求图示等截面刚架的支座反力。已知杆的抗弯刚度为EI，且不计剪切和轴力的影响。该刚架是一次静不定，将A支座解除掉，并代之以A的支座反力。根据变形比较，A点实际的垂直位移等于零用卡氏定理计算A点的垂直位移BC段：AB段：q求出多余约束后，不难利用刚架的平衡方程得到其他的支座反力。q二、截断法将结构中的某杆从中间截开，并以其内力代替截开面上的受力，然后利用两个截面的实际相对位移等于零，便可方便的求解静不定问题。例12-8求解图示静不定问题各杆的轴力，各杆抗