卡氏第二定理.ppt

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1、卡氏定理卡氏定理(Castigliano'sTheorem),是意大利工程师卡斯蒂利亚诺(A.Castigliano)于1873年提出的,故得其名.卡氏第一定理卡氏第二定理213设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位移.作用有外力:F1,F2,,Fi,相应的位移为：1,2,,i,F1F2F3结构的变形能卡氏定理的证明只给Fi一个增量Fi.引起所有力的作用点沿力方向的位移增量为213F1F2F3在作用Fi的过程中,Fi完成的功为原有的所有力完成的功为结构应变能的增量为如果把原来的力看作第一组力,而把Fi看作第二组力.

2、根椐互等定理略去高阶微量或者当Fi趋于零时,上式为这就是卡氏第二定理（Castigliano’sSecondTheorem)（卡氏定理）（Castigliano’sTheorem）（1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体(Applyingonlytolinearlyelasticbodies）说明(Directions)：（2）Fi为广义力（generalizedforce）i为相应的位移（displacementcorrespondingtoforceFi)一个力一个力偶一对力一对力偶一个线位移一个角位移相对线位移相对角位移（3）卡氏第二定理的

3、应用(Applicationofcastigliano’ssecondtheorem)（a）轴向拉,压（Axialtensionandcompression）（b）扭转（Torsion）（c）弯曲（Bending）（4）平面桁架(Planetruss)（5）组合变形(Combineddeformation)例2.6已知EI,求C端挠度及A截面的转角解：根据卡氏定理,有AB段BC段例2.7图示刚架EI为常量，B截面受m作用。求C截面转角qC及D点的水平位移dx。轴力及剪力不计。aa2aABCDmaa2aABCDmm2C点施以附加力偶矩m2,支反力为

4、RAy=———m+m22aRD=———m+m22aRAyRDx3x2x1ABCDmm2RAyRD求AB,BC,CD各段的弯矩方程,并对m2求偏导,最后由卡氏定理求得C截面的转角qC。qC=——(m+m2)2a3EIRAy=———m+m22aRD=———m+m22a实际上并无m2，所以令m2=0得qC=——2am3EI通常在积分前即令m2=0，可使积分简单x3x2x1ABCDmRAyRDPa为求D点水平位移dx,在D点加水平力Pa,求AB,BC,CD各段的弯矩方程,并对Pa求偏导,最后由卡氏定理求得D点水平位移dx。dx=——17ma26EIRAx

5、例2.8EI=常量,求B点水平和垂直位移PfAB先求垂直位移dyM=PRcosf——=RcosfMPdy=S———ds=———MMEIPPR3p4EIPfAB再在B点施加水平力PaPaM=Prcosf+PaR(1-sinf)——=R(1-sinf)MPadx=[S———ds]Pa=0=———MMEIPaPR32EI例求A点位移dA和B点位移dB解先求A点位移由卡氏定理因为所以求B点位移加入虚载荷P’AB段BC段所以事实上并无P’,因此令P’=0有其实可在进行以下积分前令P’=0