如何在解决数学问题中渗透数形结合

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1、如何在解决数学问题中渗透数形结合摘要：代数与几何是中学数学的主要内容，其中代数是研究数和数量关系的学科，几何是研究形和空间形式的学科。在处理数学问题时，若能从数和形两个方面结合来思考，常能找到解决问题的最佳途径。关键词：中学数学问题解决数形结合数学问题解决的过程，就是数学思想方法的选择和运用过程。几何问题比较直观，代数问题比较抽象，抽象的代数问题一旦与几何图形结合就往往使问题简便，易猜测结果。而且一些纯代数问题结合图形来解，显得特别容易。本文拟在解决数学问题中，尝试探究数形结合方法的运用。一、借“数”解“形”即将几何问题数量化，通过“数”的计算和化简来解决几何问

2、题。在中学数学中常运用解析法、向量法、三角方法、微积分法研究几何问题。下面简单介绍其中两种方法。1.解析法在中学，数形结合思想方法运用最典型的是平面解析几何，这一思想应贯穿其内容的始终。在教学中，教师应帮助学生经历如下过程：先合理建立平面直角坐标系，建立曲线与方程的关系，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，进而将几何问题代数化；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。例1（2008普通高等学校招生全国统一考试北京卷（文史类）19）已知[wtbx]△abc的顶点a，b在椭圆x2+3y2=4上，c在直线l：y=x+2上，且ab∥l。（

3、ⅰ）当ab边通过坐标原点o时，求ab的长及△abc的面积；（ⅱ）当∠abc=90°，且斜边ac的长最大时，求ab所在直线的方程。分析：本题主要考查直线与椭圆的关系，椭圆、直线的方程及几何性质，弦长公式，点到直线的距离公式，解析几何中的最值问题。考查转化思想和方程思想、数形结合思想以及分析问题和解决问题的能力。解：（ⅰ）由题意易得，ab所在直线的方程为y=x。设a，b两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立方程组，由x2+3y2=4，y=x，得x=±1。由弦长公式得：

4、ab

5、=2

6、x1－x2

7、=22。又ab边上的高h等于原点到直线l

8、的距离，所以h=2，s△abc=12

9、ab

10、?h=2。（ⅱ）设ab所在直线的方程为y=x+m，由x2+3y2=4，y=x+m，得4x2+6mx+3m2－4=0。因为直线与椭圆有两个交点，所以由根的判别式得：δ=－12m2+64>0。设a，b两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由韦达定理得：x1+x2=－3m2，x1x2=3m2－44，由弦长公式得：

11、ab

12、=2

13、x1－x2

14、=32－6m22。又因为bc的长等于点(0，m)到直线l的距离，即

15、bc

16、=

17、2－m

18、2，由勾股定理得：

19、ac

20、2=

21、ab

22、2+

23、bc

24、

25、2=－m2－2m+10=－(m+1)2+11。由二次函数图像得：当m=－1时，ac边最长，（这时δ=－12+64>0）此时ab所在直线的方程为y=x－1。解析几何借助坐标系，把几何问题转化为代数问题来研究。它沟通了数学内部数与形、代数与几何。从此代数与几何相互吸取新鲜的活力，数学得到迅速的发展。2.向量法在用向量法研究几何方面，坐标使平面向量与它的坐标建立了一一对应关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。特别是用空间向量处理空间问题，给立体几何注入了新鲜“血液”，空间元素间的位置关系转化为数量关系，形式逻辑证明转化为数值计算。由于思路清晰，有

26、规可循，降低了思维的难度,因此空间向量就成为处理空间问题的重要方法。这里不再举例说明。二、以“形”助“数”将代数问题形象化，通过“形”的直观和简捷来解决代数问题。几何直观能启迪思路、帮助理解，解决代数问题思路的获得常用“形”来帮助。即在代数的核心内容中渗透几何语言，借助几何直观形象帮助理解应用。通过以“形”助“数”，可将数量信息反映在图形上，借助形能直观表现数量间关系，从而获得解题思路。因此，在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考、揭示研究对象的性质和关系，并且学会利用几何直观来分析和理解数学。具体做法：把具体的数量关系，经过抽象，转化为适当的几何图形，从图形

27、的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题。函数这一内容是学习数形结合数学思想方法很好的载体。例2(2008普通高等学校招生全国统一考试湖北卷（文史类）13)方程2－x+x2=3的实数解的个数为______。分析：本题如直接解方程不易解出。若用数形结合思想，直观且容易得到结论。在同一直角坐标系内作出f(x)=2－x与g(x)=－x2+3的图像，观察两函数图像交点个数，易知答案为2。（作者单位：福建省厦门市第二外国语学校）