第八章向量代数与空间解析几何教（学）案(同济大学版高数)

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1、第八章向量代数与空间解析几何第一节向量及其线性运算教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。教学重点：1.空间直角坐标系的概念2.空间两点间的距离公式3.向量的概念4.向量的运算教学难点：1.空间思想的建立2.向量平行与垂直的关系教学内容：一、向量的概念1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。2．量的表示方法有:、、、等等。3．向

2、量相等：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。4．量的模：向量的大小，记为、。模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。5．量平行：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。6．负向量：大小相等但方向相反的向量，记为二、向量的线性运算1．加减法：加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－4242．即3．向量与数的乘法：设是一个数，向量与的乘积规定为时，与同向，时，时，与反向，其满足的运算规律有：结合率、分配率。设表示

3、与非零向量同方向的单位向量，那么定理1：设向量a≠0，那么，向量b平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b＝例1：在平行四边形ABCD中，设，，试用和b表示向量、、和，这里M是平行四边形对角线的交点。（见图7－5）图7－4解：，于是由于，于是又由于，于是由于，于是三、空间直角坐标系1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住轴，当右手的四个手指从正向轴以角度转向正向轴时，大拇指的指向就是轴的正向。2．间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：轴、轴、轴，坐标面分别

4、为面、面、面。坐标面以及卦限的划分如图7－2所示。图7－1右手规则演示图7－2空间直角坐标系图图7－3空间两点的距离图243．空间点的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。注意：特殊点的表示a)在原点、坐标轴、坐标面上的点；b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4．空间两点间的距离。若、为空间任意两点，则的距离（见图7－3），利用直角三角形勾股定理为：而所以特殊地：若两点分别为，例1：求证以、、三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。证明:24由于，原结论成立。例2：设在轴上，它到的距离为到点的距离的两倍，求点的坐标。

5、解：因为在轴上，设P点坐标为所求点为：，四、利用坐标系作向量的线性运算1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。设a=是以为起点、为终点的向量，i、j、k分别表示图7－5沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用向量的加法规则知：i+j+k或a=axi+ayj+azk上式称为向量a按基本单位向量的分解式。有序数组ax、ay、az与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影ax

6、、ay、az就叫做向量a的坐标，并记为a＝{ax，ay，az}。24上式叫做向量a的坐标表示式。于是，起点为终点为的向量可以表示为特别地，点对于原点O的向径注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az，向量a在坐标轴上的分向量是三个向量axi、ayj、azk.2．向量运算的坐标表示设，即，则(1)加法：◆减法：◆乘数：◆或◆平行：若a≠0时，向量相当于，即也相当于向量的对应坐标成比例即五、向量的模、方向角、投影设，可以用它与三个坐标轴的夹角（均大于等于0，24小于等于）来表示它的

7、方向，称为非零向量a的方向角，见图7－6，其余弦表示形式称为方向余弦。1．模2．方向余弦由性质1知，当时，有◆任意向量的方向余弦有性质：◆与非零向量a同方向的单位向量为：例：已知两点M1(2,2,)、M2(1,3,0)，计算向量的模、方向余弦、方向角以及与同向的单位向量。解：＝{1-2，3-2，0-}={-1，1，-}，，，，设为与同向的单位向量，由于即得241．向量在轴上的投影(1)轴上有向线段的值：设有一轴，是轴上的有向线段，如果数满足，且当与轴同向时是正的，当与轴反向时是负的，那么数叫做轴上有向线段的值，记做AB，即。设e是与轴同方向的

8、单位向量，则(2)设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有(3)两向量夹角的概念：设有两个非零向量和b，任取空间一点O，作，，规定不超过的称为向量