复变函数复习讲解课件

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1、复变函数复习课第一章复数与复变函数第二章解析函数第三章复变函数的积分第四章级数第五章留数1第一章复数与复变函数本章我们主要学习了复数的概念、运算及其表示方法和复变函数的概念及其极限、连续性两部分内容。1.复数的概念、运算及其表示方法是我们后面学习的基础，所以应通过复习，做到熟练掌握，灵活运用。23456例3.为等边三角形证明:为等边即,,平方得:72.平面曲线（特别是简单闭曲线、光滑曲线或按段光滑曲线）和平面区域（包括单连通域与多连通域）是复变函数的理论基础，与此相关的概念如邻域、去心邻域、内点、开集、连通集、区域、边界点、闭区域、有界集等等，都是应当正确理解并熟悉的，这对后面的学习非

2、常重要。例1.3描出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连通域还是多连通域？892.复变函数及其极限、连续性的概念是实函数及其极限、连续性的概念在复数范围内的推广，复习时注意二者之间的相同点和不同点。10111213141516第二章解析函数本章的重点是要正确理解复变函数的导数与解析函数等基本概念，掌握判断复变函数可导与解析的方法。对于复变量初等函数，要熟悉它们的定义和主要性质，特别是在复数范围内，实变初等函数的哪些性质不再成立，显现处哪些在实数范围内所没有的性质。171.函数的可导性与解析性函数的可导性与解析性的判断可根据定义，也可根据书上所给出的关于函数

3、可导与解析的充要条件。1819练习120练习2证明f(z)=zRez只在z=0处才可导。证明2122232.关于初等解析函数，我们主要考虑三个方面的问题。一是关于初等解析函数的计算，二是关于初等解析函数方程的求解，三是关于初等解析函数的等式或不等式的证明。在求解这些问题时，一是要熟悉初等解析函数的概念，特别是与实初等函数的区别，二是要善于运用初等解析函数的性质。242526272829练习1解方程解：303132例2.6证明：不是的解析函数。证：令则有设则显然，在复平面上任意点处，C-R条件都不能同时成立，故在复平面上任一点处都不可微，从而可知不是的解析函数。33第三章复变函数的积分本

4、章我们主要学习了复变函数积分的概念、性质和计算方法，以及研究解析函数特性的几个重要工具柯西－古萨基本定理、闭路变形原理、复合闭路定理和柯西积分公式，最后讨论了解析函数与调和函数的关系。要求重点掌握复变函数积分计算的一般方法和柯西－古萨基本定理、复合闭路定理以及柯西积分公式在复积分计算中的应用；掌握共轭调和函数的求法。341.计算沿光滑曲线的复变函数积分时，常用的方法是：（1）化为两个实二元函数的线积分来计算；（2）利用参数方程。另外，凡是在定积分和线积分中使用的技巧，在这里都可以照常使用。3536例3.2（2）C：左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周。解（1）（2）参数方程为37

5、例3.3计算积分解:圆周的参数方程为故38例3.4证明：39402.应用柯西－古萨基本定理和复合闭路定理计算复积分时，主要是验证是否满足定理条件。4142433.用莱布尼兹公式计算积分，首先要解决的是，积分上、下限的两点是否可以包含在一个单连通域内，且被积函数是否在该单连通域内解析；其次，要易于求出被积函数的原函数，这可以利用实函数微积分中的知识。44454.当被积函数为有理函数或被积函数可化为分母为多项式的函数，且在封闭的积分曲线内含有分母的一个零点而分子在曲线内部解析，则可考虑直接应用柯西积分公式或高阶导数公式来计算积分。46474849505.了解调和函数和解析函数的关系，验证一

6、个函数是否是调和函数可根据定义，求一个调和函数的共轭调和函数常用的方法是偏积分法和不定积分法。515253例3.12试证不能成为一个解析函数的实部。证：因为故当时，不是一个调和函数。而在直线上虽然满足Laplace方程，但直线不是区域，因此，在复平面上任何区域内，不能成为一个解析函数的实部。54例3.13设为的解析函数，且求出及。解：把所给式子对求偏导，可得据C-R方程，有55解得偏积分，可得再根据题设，得56第四、五章级数本章要求在正确理解和熟悉复数项级数、复变函数项级数、幂级数、泰勒级数、洛朗级数的概念、敛散性及其运算、性质等基础上，重点掌握幂级数收敛半径的求法以及如何把函数展开成

7、泰勒级数与洛朗级数。1、复数列的敛散性可由两个实数列的敛散性确定，复级数的敛散性可由两个实级数的敛散性确定，因此，以前学过的关于实级数敛散性的判断方法和技巧都可以应用。57585960612、幂级数的收敛半径求法常用的主要有比值法、根值法，有时还要用到柯西－哈达玛方法。收敛圆上的点的敛散性要用实数项级数与复数项级数敛散性来确定。6263646566673、将一个函数展开为泰勒级数的方法有直接展开法和间接展开法两种。用直接展开法时，要注意运用求导