复变函数名校讲解课件_1

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1、由§4.3知,f(z)在z0解析，则f(z)总可以在z0的某一个圆域z-z0

2、--双边幂级数正幂项(包括常数项)部分：负幂项部分：级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2，则级数在z-z0=R2内收敛，且和为s(z)+;在z-z0=R2外发散。z0R1R2z0R2R1(2)在圆环域的边界z-z0=R1,z-z0=R2上,定理5.1设双边幂级数（5.3）的收敛圆环为则（1）(5.3)在内绝对收敛且内闭一致收敛于（2）函数在内解析（3）函数在内可逐项求导次（4）函数可沿内曲线逐项积分.定理5.2设在圆环内解析,则在内其中,系数被及唯一确定.称为的洛朗展式.证明：对作(其中）且使由柯西积分公式,有对于第一个积分,只要照

3、抄泰勒定理证明中的相应部分,即得：其中（图5.1）对于第二个积分当时(右边级数对于是一致收敛)上式两边乘上得:右边级数对仍一致收敛,沿逐项积分,可得其中于是其中下面证明展式唯一,若在H内另有展开式右边级数在上一致收敛,两边乘上得：右边级数在上仍一致收敛,沿逐项积分,可得即展式是唯一的.注：1)定理中的展式称为洛朗展开式,级数称为洛朗级数称为洛朗系数.例1．求解：2)泰勒展式是洛朗展式的特例.在中的洛朗展开3、孤立奇点邻域内的罗朗展式定义5.2若　在奇点　的某一去心邻域内解析，则称为的一个孤立奇点。若　为　的一个孤立奇点，则必存在数　，使在　的去心邻域

4、内　　可展成罗朗级数。例5.2求在其孤立奇点的去心邻域内的罗朗展式。解：有两个奇点　　和　　　。在　　　的（最大）去心邻域内在　　　的（最大）去心邻域内例求在适当圆环内的洛朗展式。分析：在上只以为奇点，因此Z平面被分成两个不相交的解析区域；以及解（展开中心是（展开中心是（展开中心是（展开中心是此例子说明：同一个函数在不同的圆环内的洛朗展式可能不同.练习：求函数在适当圆环内的洛朗展式例2求及在内的洛朗展式解例3求在内的洛朗展式解解析函数在孤立奇点的去心邻域内能展成洛朗级数（由洛朗定理及如上例可见），但在非孤立奇点的邻域内则不能。例问函数能否在内展开成洛

5、朗级数？解：的奇点是分母的零点：及，而当时，。所以是个非孤立奇点，故不存在一个去心邻域使得在其内解析，因此不可能在内把展开成洛朗级数。(2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。小结：把f(z)展成洛朗(Laurent)级数的方法：根据区域判别级数方式：在圆域内需要把f(z)展成泰勒(Taylor)级数，在环域内需要把f(z)展成洛朗(Laurent)级数。Laurent级数与Taylor级数的不同点：Taylor级数先展开求R,找出收敛域。Laurent级数先求f(z

6、)的奇点，然后以z0为中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远点的所有使f(z)解析的环，在环域上展成级数。§2.解析函数的孤立奇点孤立奇点是解析函数的奇点中最简单最重要的一种类型。以解析函数的罗朗展式为工具，我们能够在孤立奇点的去心邻域内充分研究一个解析函数的性质。我们称的正则部分，而称的主要部分。1.孤立奇点的三种类型已经说过，如的孤立奇点，则的某去心邻域内可以展成罗朗级数定义5.3设的孤立奇点。（1）如果的主要部分为零，则称的可去奇点（见例5.3）。（3）如果的主要部分有无限多项，则称的本性奇点（见例5.4及例5.5）。（2）如果的主要部分为有限多

7、项，设为则称极极点（见例5.2）。一级极点也称为简单极点。2.可去奇点如果的可去奇点，则有以下我们分别讨论三类孤立奇点的特征。上式右边表圆内的解析函数。如果命内与一个解析函数重合。也就是说，我们将的值加以适当定义，则点的解析点。这就是我们称为的可去奇点的由来。例如，当我们约定就解析了。定理5.3如果的孤立奇点，则下列三条件是等价的。因此，它们中的任何一条都是可去奇点的特征。的主要部分为零；的某去心邻域内有界。证只要证明（1）推出（2）；（2）推出（3）；（3）推出（1）就行了。（1）推出（2）：由（1）知于是（2）推出（3）：即例1.27。（3）推出

8、（1）：设的某去心邻域为界。考虑的主要部分而为全含于K内的圆周可以充分小。于是由即知当。即是说，的主要部分为