简谈与定义域有关的函数问题

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1、简谈与定义域有关的函数问题正阳县高级中学陈莹莹函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学学习的始终.函数的定义域是构成函数的三大要素之一，是函数的灵魂.它看似非常简单，然而在解决问题中若不加以注意，常常会误入歧途，导致失误.在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的下面就几个方面加以探讨：一、函数关系式与定义域函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误.如：例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩

2、形长x的函数关系式？解：设矩形的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意得：故函数关系式为：．如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围.也就说学生的解题思路不够严密.因为当自变量取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：即：函数关系式为：（）评析：这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响.二、函数最值与定义域函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题.如果不注意定义域，将会导致最值的错误.如：例2：

3、求函数在[－2，5]上的最值．4解：∵∴当时，初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值.产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化.这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性.其实以上结论只是对二次函数在R上适用，而在指定的定义域区间上，它的最值应分如下情况：⑴当时，在上单调递增函数；⑵当时，在上单调递减函数；⑶当时，在上最值情况是：，．即最大值是中最大的一个值.故本题还要继续做下去：∵∴∴∴函数在[－2，5]上的最小值是－4，最大值是12．评析：这个例子说明，在函数定义域受到限制时，就得注意定义域的取值

4、范围对函数最值的影响了.三、函数值域与定义域4函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定.因此在求函数值域时，应注意函数定义域.如：例3：求函数的值域．错解：令∴故所求的函数值域是．剖析：经换元后，应有，而函数在[0,+∞)上是增函数，所以当t=0时，ymin=1．故所求的函数值域是[1,+∞）．评析：以上例子说明，变量的允许取值范围特别是变量隐含的取值范围，对整个解题过程，以及对最后的结论都起到至关重要的作用.四、函数单调性与定义域函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论

5、函数单调性必须在给定的定义域区间上进行.如：例4：指出函数的单调区间．解：先求定义域：∵∴∴函数定义域为．令，知在上时，u为减函数，在上时，u为增函数.又∵．∴函数在上是减函数，在上是增函数.即函数的单调递增区间，单调递减区间是.评析4：如果在做此题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就会导致失误，得到错误的结论.五、函数奇偶性与定义域判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈.否则要用奇偶性定义加以判断.如：例5：判断函数的奇偶性．解：∵∴定义域

6、区间[－1,3]关于坐标原点不对称∴函数是非奇非偶函数．若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：∵∴函数是奇函数．评析：因为在解题过程中没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称，而直接利用定义加以判断造成失误，这是同学们极易忽视的步骤，也是造成结论错误的主要原因.综上所述，在求解函数解析式、最值（值域）、单调性、奇偶性等相关问题的过程中，若能认识到函数定义域的重要性，认真考虑函数定义域有无改变（指对定义域为R来说），对解题结果有无影响，才能正确解决相关

7、问题，减少失误.4