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1、安徽大学2007—2008学年第二学期《离散数学》考试试卷（B卷）一、填空题（每空2分，共12分）1.,是有理数集合，*为上的二元运算，对,有，则*的单位元是_____________。当时，的逆元为__________________。2.一棵无向树有5片树叶，3个2度分支点，其余的分支都是3度顶点，则有______个顶点。3.设是布尔代数，则运算的单位元是________，零元是___________。4.一棵二元树有个结点，则这棵二元树的高度最大是：______________。二、选择题（每小题2分，共10分）1.（）是群中唯一的等幂元素。A.幺元B.零元C.逆元D.生
2、成元2.若图有穿梭于图的每条边一次且仅一次的回路，该图为（）。A.半欧拉图B.欧拉图C.半哈密尔顿图D.哈密尔顿图3.若是可交换的，含幺而无零因子环，则称它是（）。A.域B.理想C.整环D.含幺环4.小于30条边的平面简单图有一定一个顶点的度数（）。A.B.C.D.5.对于可（）运算，若一个元素有左逆元和右逆元，有。A.结合B.交换C.吸收D.封闭三、计算题（每小题8分，共32分）1.为群，且，其中，是2阶元，是单位元，求的阶。2.设为整数集合,在上定义二元运算如下：，问关于运算能否构成群？为什么？第6页共6页3.下列各集合对于整除关系都构成偏序集,判断哪些偏序集是格。 (1
3、)L={1,2,3,4,5} (2)L={1,2,3,6,12} (3)L={1,2,3,4,6,9,12,18,36} (4)L={1,2,22,...,2n},n∈Z+ 4.设无向图中各顶点的度数都是3，且顶点数与边数有如下关系：，（1）中顶点数与边数各为多少？（2）在同构的意义下是唯一的吗？四、证明题（每小题8分，共32分）1.设为群，,，有，证明当且仅当是交换群，是的自同构。第6页共6页2.是群，是的子群，对任意的，有的充要条件是：对。3.证明若是每个区域至少由条边围成的连通平面图，则，这里分别是图的顶点数和边数。4.设是二分图，它的两个部分的顶点集分别是和,且和
4、的元素个数不等，则一定不是图。得分五、综合题（14分）设是群，，为*的单位元，（1）给出满足上面的运算表。（2）说明由该运算表建立的是循环群吗？若是，请给出所有的生成元。（3）该群能否成为一个14阶群的子群？请说明你的理由。第6页共6页安徽大学2007—2008学年第二学期《离散数学》（B卷）考试试题参考答案及评分标准一、填空题（每空2分，共12分）1.，2.113.0，14.二、选择题（每小题2分，共10分）1.A2.B3.C4.D5.A三、计算题（每小题8分，共32分）1.（4分）是二阶元且（2分）故x的阶为3（2分）2.(1)易见该运算封闭。（2分）(2)任取整数x,y,
5、z, (xy)z=(x+y-2)z=x+y-2+z-2=x+y+z-4 x(yz)=x+(y+z-2)-2=x+y+z-4=x+y+z-4 结合律成立。（2分）(3)单位元为2。（2分）(4)X的逆元为4-x。（2分）3．（1）不是格（2分）（2）是格（2分）（3）是格（2分）(4)是格（2分）4.（1）又（2分），（2分）（2）不唯一（2分）（1分）K(3,3)(1分)第6页共6页四、证明题（每小题8分，共32分）1.（1）设*是群上的运算，，有是交换群故是到的自同态。（2分），若，则，即故是到的单射。（1分），,使故是到的满射。（1分）故是到的双射。（1分）综
6、上，故是到的同构。（2）若是到的自同构，，又故是交换群。（3分）2.对即即（3分）同理（1分）综上(1分)对任意的总有使对任意的，有（3分）3.图是每个区域至少由条边围成的连通平面图，为面数第6页共6页（2分）又（4分）（2分）4.不妨设，则（2分）（4分）不是图。（2分）五、综合题（14分）解：（1）（3分）（3分）（2）第一个表是循环群，生成元是。（3分）第二个表不是循环群，它的每个元素的阶都是2。（3分）（3）不能，由拉格朗日定理可知，子群的阶必是有限群的阶的某个因子，而4不能整除14。（2分）第6页共6页
