苏教版高中数学选修2-1第3章空间向量与立体几何3.1.1含答案

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1、苏教版高中数学选修2-1同步学案讲义§3.1　空间向量及其运算3.1.1　空间向量及其线性运算学习目标　1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律．知识点一　空间向量的概念思考　类比平面向量的概念，给出空间向量的概念．答案　在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．梳理　(1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为

2、a

3、或

4、

5、.(2)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规

6、定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量知识点二　空间向量及其线性运算1．空间向量的线性运算16苏教版高中数学选修2-1同步学案讲义已知空间向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，＝c，与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为：＝＋＝a＋c；＝－＝a－b＝－c.若P在直线OA上，则＝λa(λ∈R)．2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：(1)a＋b＝b＋a；(2)(a＋b)＋c

7、＝a＋(b＋c)；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)．知识点三　共线向量(或平行向量)1．定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．若向量a与b平行，记作a∥b，规定零向量与任意向量共线．2．共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.1．在空间中，单位向量唯一．(×)2．在空间中，任意一个向量都可以进行平移．(√)3．在空间中，互为相反向量的两个向量必共线．(√)4．空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．(×)类型一　空间向量的概念及应用例1　如图所示，以长方体

8、ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：(1)试写出与相等的所有向量；(2)试写出的相反向量；(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．16苏教版高中数学选修2-1同步学案讲义解　(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及，共3个．(2)向量的相反向量有，，，，共4个．(3)

9、

10、＝＝＝＝3.引申探究如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为的所有向量．解　(1)由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，，，，，，，，共8个

11、向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．(2)由于长方体的左右两侧面的对角线的长均为，故模为的向量有，，，，，，，.反思与感悟　在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．跟踪训练1　给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a，b满足

12、a

13、＝

14、b

15、，则a＝b；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的命题的序号为________．答案

16、　①②解析　两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a，b满足

17、a

18、＝

19、b

20、，则不一定能判断出a＝b，故②不正确；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝16苏教版高中数学选修2-1同步学案讲义成立，故③正确；④显然正确．16苏教版高中数学选修2-1同步学案讲义类型二　空间向量的线性运算例2　如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)－；(2)＋＋.解　(1)－＝－＝＋＝.(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.向量，如图所示．引申探究利用本例题图，化简＋＋＋.解　结合加法运算，得＋＝，＋＝，＋＝0.故＋＋

21、＋＝0.反思与感悟　1.化简向量表达式时，要结合空间图形，分析各向量在图形中的表示，然后利用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并化简到最简为止．2．首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；若首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.跟踪训练2　在如图所示的平行六面体中，求证：＋＋＝2.证明　∵平行六面体的六个面均为平行四边形，16苏教版高中数学选修2-1同步学案讲义∴＝＋，＝＋，＝＋，∴＋＋＝(＋)＋(