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1、图像处理偏微分方法实验报告偏微分方程在图像处理领域的研究开始于六、七十年代，从最初的去噪角度和图像恢复的角度出发，相应地引入了偏微分方程。但直到九十年代才比较系统地将偏微分方程引入图像处理领域，结合其他一些数学工具如数学形态学和仿射几何等，形成了比较完整的理论体系。由s．Osher等提出的水平集方法具有良好的几何插值性，将灰度插值转化为曲线插值，在图像处理中有很大的影响，在图像修复与去噪、边缘检测、图像匹配、图像识别等方面都取得了相对较好的结果。一、偏微分方程在图像处理中的应用偏微分方程在图像处理
2、领域的研究开始于六、七十年代，Gabor，Rudin，Osher等人分别从去噪的角度出发，把偏微分方程引入了图像处理领域。同时，Osher还从图像恢复的角度出发，使用最小化全局变差(TotalVadation)方法和变分法，也使用了相应的偏微分方程。但直到上世纪九十年代，Alvarez，Lions，Morel等才首次系统地将偏微分方程引入了图像处理领域，在理论上有比较大的突破，并结合其他数学工具，如数学形态学、变分法、逼近论、仿射几何等，形成了比较完整的理论体系。由于理论体系本身的优点，从二维图像
3、(静止图像，如照片)到三维图像(运动图像，如电影)应用的拓展相对容易一些。这也是偏微分方程在图像处理研究领域中的一个优势。当然，时间这一维数有它本身的特点，与图像平面有本质的区别，在应用中需要加以注意。概括地说，偏微分方程的图像处理技术具有以下的特点：(1)基于PDE的方法具有良好的数学基础，可以提供深刻的理论结果，并且算法具备良好的稳定性；(2)一些经典的方法如高斯滤波、中值滤波、膨胀和腐蚀在PDE的统一框架下得到全新的解释；(3)这种视角产生了新的方法，它们比经典的方法包容更多的不变性，如保持
4、结构的滤波、线形增强等；(4)PDE是连续的模型，与具体的离散网格无关，并且具有旋转不变性。偏微分方程在图像处理中的研究主要集中在图像处理的两个基础部分：图像滤波和图像边缘提取。在实际应用方面，它在以下的图像处理的领域，如图像匹配、图像分割、图像重建、图像检索、图像边缘检测等，也取得了令人欣喜的成果，并表现出很大的发展潜力。以上这些方面及其分支覆盖了图像处理的绝大多数领域。例如，Cohen从TotalVariation的角度出发结合相应的偏微分方程，在图像分割、医学图像处理中取得了良好的理论和试验
5、结果，并将其研究领域拓展到了对图像非线性形变的分析。同时，对于动态图像的研究和分析也得到了广泛的应用，在动态目标跟踪、运动分析、形变分析方面都取得了令人满意的结果。由于发展迅速，近年来这方面的研究已经成为图像处理中的又一个热点。二、二值图像及BMO算法1．二值图像在灰度图像中的一类特殊的图像，灰度值只由0，1（连续模型）或者0，255（离散模型）两个值组成，称为二值图像，也被称为像形状，因为二值图像的信息实际等同于图像支撑集W中的一个子集X∈W。任何二值图像都具有1x这样的形式，其中1x表示定义在
6、X上的特征函数，具体定义是为去除二值图像中的多余信息，使经过处理后可以使形状变得规则，Koenderind和VanDorn于1986年提出了动态边界（dynamicshape）方法，总体思想是先求出图像1x经过热传导方程滤波器作用后的结果，选择参数为t，得到的解为1x，t。很显然1x，t不在是二值图像，再采用二值化的方法将其生成二值图像，仍然记为Xt，定义如下图1二值化例图2N=20,50,150,250,400处理的结果Matlab源码：I=imread('dynamic.bmp');subpl
7、ot(1,2,1),imshow(I);I=double(I);h=[0,1,0;1,-4,1;0,1,0]*0.1;forN=1:400I=I+filter2(h,I);EndI=im2bw(uint8(I),0.5);subplot(1,2,2),imshow(I);从结果可以看出，随着t的增加，图像的细节信息越来越少，但没有实现保留重要信息的目的，因为图像的内容的拓扑结构发生了变化，两个物体变成了一个物体。2．BMO算法为解决上面的问题，介绍Bence-Merrman-Osher算法（BMO
8、），整个过程是一个迭代过程，描述如下：（1）求1x，t，选择参数t足够小至于作用后不影响形状的拓扑结构；（2）定义X1={x
9、1x,t(x)≥1/2}，得到二值图像1X1；（3）令X=X1，再回到（1）。随着迭代次数的增加，细节信息越来越少，同时还保留了形状的拓扑结构。Matlab源码：Iy=imread('bin_3.jpg');figure(1);imshow(Iy);xlabel(原图');[w,h]=size(Iy);I=[255*ones(w,1),Iy,255*ones
