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1、毕业论文论文题目：常微分方程在数学建模中的应用姓名：学科专业：指导教师：完成时间：18摘要常微分方程是数学理论（特别是微积分）联系实际的重要工具，它不仅与几何学、力学、电子技术、自动控制、星际航行、甚至和化学、生物学、农业以及经济学都有着密切的联系。本文结合实践背景，建立数学模型，并利用所得结果去解释某些实际问题。关键字常微分方程、人口预测模型、市场价格模型、混合溶液的数学模型、震动模型18目录第一章人口预测模型第二章市场价格模型第三章混合溶液的数学模型第四章震动模型18绪论当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空
2、间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态，研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型。建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析、预测或控制了。事实上在微分方程课程中，解所谓应用题时我们遇到简单的建立动态模型问题，例如“一质量为m的物体自高h处自由下落，初速度是零，设阻力与下落速度的平方成正比，比例系数为k，求下落速度随时间的变化规律。”又如“容器内有盐水100L,内含盐10
3、kg,令以3L/min的速度从一管放进净水，以2L/min的速度从另一管抽出盐水，设容器内盐水浓度始终是均匀的，求容器内含盐量随时间变化规律。”本文讨论的是常微分方程在数学建模中的应用。18第一章人口预测模型由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改
4、,得到较完善的模型.例1（马尔萨斯（Malthus）模型）英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.解设时刻的人口为,把当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连
5、续化处理）,据马尔萨斯的假设,在到时间段内,人口的增长量为,并设时刻的人口为,于是这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为,此式表明人口以指数规律随时间无限增长.模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样,,,于是.这个公式非常准确地反映了在1700—196118年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）．但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的
6、差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改.例2（逻辑Logistic模型）马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当
7、人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小.因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生活空间就越大,食物就越多,从而就越大）,并假设将增长率等于,即净增长率随着的增加而减小,当时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型.解由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为上式就是逻辑模型,该方程可分离变量,其解为,.下面,我们对模型作一简要分析.（1）
8、当,,18即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值；（2）当时,,这说明是时间的单调递增函数；（3）由于,所以当时,,单增；当时,,单减,即人口增长率由增变减,在处最大,也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早会达到零,这是减速生长期；（4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果
