《概率论与数理统计》习题及答案 第二章

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《概率论与数理统计》习题及答案第　二　章1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解设‘任取一件是等品’，所求概率为，因为所以故.2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解设‘所取两件中有一件是不合格品’‘所取两件中恰有件不合格’则，所求概率为.3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解设‘发现是同一颜色’，‘全是白色’，‘全是黑色’，则，所求概率为4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解设‘至少有3张黑桃’，‘5张中恰有张黑桃’，，则 ，所求概率为.5．设求与.解.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。解设‘从乙袋中取出的是白球’，‘从甲袋中取出的两球恰有个白球’.由全概公式.7．一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，求第二次取出的3个球均为新球的概率。解设‘第二次取出的均为新球’，‘第一次取出的3个球恰有个新球’由全概公式.8．电报发射台发出‘·’和‘–’的比例为5:3，由于干扰，传送（·）时失真的概率为2/5，传送‘–’时失真的概率为1/3，求接受台收到‘·’时发出信号恰是‘·’的概率。解设‘收到‘·’’，‘发出‘·’’，由贝叶斯公式.9．在第6题中，已知从乙袋中取得的球是白球，求从甲袋中取出的球是一白一黑的概率.解事件如第6题所设，所求概率为 10．已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是0.05，求在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率。解设‘任取一产品，经检查是合格品’，‘任取一产品确是合格品’，则，所求概率为.11．假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等的概率.解设‘第次取出的零件是一等品’，.‘取到第箱’，.则（1）.（2）.12．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率.解设‘顾客买下该箱’，‘箱中恰有件残次品’，， （1）；（2）.13．设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份（1）求先取到的一份为女生表的概率；（2）已知后取到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率.解设‘先取到的是女生表’，‘后取到的是男生表’，‘取到第个地区的表’，（1）；（2）因为先取出的是女生表的概率为，所以先取出的是男生表的概率为，按抓阄问题的道理，后取的是男生表的概率.于是（2）.14．一袋中装有枚正品硬币，枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中任取一枚，已知将它投掷次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？解设‘任取一枚硬币掷次得个国徽’，‘任取一枚硬币是正品’，则，所求概率为 .15．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，求甲击中的概率.解设‘目标被击中’，‘第个人击中’所求概率为.16．三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是，求他们将此密码译出的概率.解1设‘将密码译出’，‘第个人译出’则.解2事件如上所设，则.17．甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为0.4，0.5，0.7。设飞机中一弹而被击落的概率为0.2，中两弹而被击落的概率为0.6，中三弹必然被击落，今三人各射击一次，求飞机被击落的概率.解设‘飞机被击落’，‘飞机中弹’.则设‘第个人命中’，，则，，，所以 .18．某考生想借一本书，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的概率相等；若有，能否借到的概率也相等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该生能借到此书的概率.解1设‘该生能借到此书’，‘从第馆借到’则(第馆有此书且能借到)，.于是.解2.解3事件如解1所设，则，故.19．设，证明、互不相容与、相互独立不能同时成立.证若、互不相容，则，于是所以、不相互独立.若、相互独立，则，于是，即、不是互不相容的.注：从上面的证明可得到如下结论：1）若、互不相容，则、又是相互独立的或.2）因，所以如果，则，从而可见概率是1的事件与任意事件独立，自然，必然事件与任意事件独立.如果，则，即概率是零的事件与任意事件独立，自然，不可能事件与任何事件独立。20．证明若三事件相互独立，则及都与独立。 证即与独立.即与相互独立.21．一个教室里有4名一年级男生，6名一年级女生，6名二年级男生，若干名二年级女生，为要我们在随机地选择一名学生时，性别和年级是相互独立的，教室里的二年级女生应为多少名？解设还应有名二年级女生，‘任选一名学生为男生’，‘任选一名学生为一年级’，则，，，欲性别和年级相互独立，即，所以，即教室里的二年级女生应为9名。22．图中1，2，3，4，5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率均为，且设各继电器闭合与否相互独立，求至是通路的概率.L14532R解设‘是通路’，‘第个接点闭合’，则23．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81 ，求该射手的命中率。解设该射手的命中率为，由题意，，所以.24．设一批晶体管的次品率为0.01，今从这批晶体管中抽取4个，求其中恰有一个次品和恰有两个次品的概率。解..25．考试时有四道选择题，每题附有4个答案，其中只有一个是正确的。一个考生随意地选择每题的答案，求他至少答对三道题的概率。解答对每道题的概率为，所求概率为.26．设在伯努里试验中，成功的概率为，求第次试验时得到第次成功的概率.解设‘第次试验时得到第次成功’，则‘前次试验，成功次，第次试验出现成功’，所以（前次试验，成功次）（第次试验成功）.27．设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品，不能出厂。现该厂生产了台仪器（假定各台仪器的生产过程相互独立）。求（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰有两台不能出厂的概率；（3）其中至少有两台不能出厂的概率。解设‘任取一台可以出厂’，‘可直接出厂’，‘需进一步调试’。则，将台仪器看作重伯努里试验，成功的概率为，于是（1），（2），（3）。28．设昆虫产个卵的概率为，又设一个虫卵能孵化成昆虫的概率为，若卵的孵化是相互独立的，问此昆虫的下一代有条的概率是多少？ 解设‘下一代有条’，‘产个卵’则.29．一台仪器中装有2000个同样的元件，每个元件损坏的概率为0.0005，如果任一元件损坏，则仪器停止工作，求仪器停止工作的概率.解考察一个元件，可视为一次贝努里试验，2000个元件为2000重贝努里试验。，利用泊松逼近定理，所求概率为.30．某人有两盒火柴，吸烟时从任一盒中取一根火柴，经过若干时间后，发现一盒火柴已经用完，如果最初两盒中各有根火柴，求这时另一盒中还有根的概率。解设‘发现一盒已经用完另一盒还有根’。‘发现甲盒已经用完乙盒还有根’。则发生甲盒拿了次，乙盒拿了次，共进行了次试验，而且前次试验，甲发生次，第次试验甲发生。故从而.