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1、概率论与数理统计习题及答案习题四1.设随机变量X的分布律为X-1012P1/81/21/81/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】(1)(2)(3)2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为X012345P故3.设随机变量X的分布律为X-101Pp1p2p3且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3.【解】因……①,又……②,……③18由①②③联立解得4.袋中有N只球，其中的白
2、球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则5.设随机变量X的概率密度为f（x）=求E（X），D（X）.【解】故6.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.（1）U=2X+3Y+1；（2）V=YZ-4X.【解】(1)(2)7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X-2Y），D（2X-3Y）.【解】(1)18(2)8.设随
3、机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=试确定常数k，并求E（XY）.【解】因故k=2.9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为fX（x）=fY（y）=求E（XY）.【解】方法一：先求X与Y的均值由X与Y的独立性，得方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为于是10.设随机变量X，Y的概率密度分别为fX（x）=fY（y）=求（1）E（X+Y）;（2）E（2X-3Y2）.【解】18从而(1)(2)11.设随机变量X的概率密度为f（x）=求（1）系数c;（2）E（X）;（3
4、）D（X）.【解】(1)由得.(2)(3)故12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求E（X）和D（X）.【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知于是，得到X的概率分布表如下：X0123P0.7500.2040.0410.005由此可得13.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为f（x）=
5、18为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100元和-200元故(元).14.设X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量，且有E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2，i=1，2，…，n，记，S2=.（1）验证=μ，=；（2）验证S2=；（3）验证E（S2）=σ2.【证】(1)(2)因故.(3)因,故同理因,故.18从而15.对随机变量X和Y，已知D（
6、X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=-1,计算：Cov（3X-2Y+1，X+4Y-3）.【解】(因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似).16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.【解】设.同理E(Y)=0.而,由此得,故X与Y不相关.下面讨论独立性，当
7、x
8、≤1时，当
9、y
10、≤1时，.18显然故X和Y不是相互独立的.17.设随机变量（X，Y）的分布律为XY-101-1011/81/81/81/801
11、/81/81/81/8验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表18X-101PY-101PXY-101P18由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0,即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的.又从而X与Y不是相互独立的.18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求
12、Cov（X，Y），ρXY.【解】如图，SD=，故（X，Y）的概率密度为题18图18从而同理而所以.从而19.设（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求协方差Cov（X，Y）和相关系数ρXY.【解】从而同理又故1820.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为，试求Z1=X-2Y和Z2=2X-Y的相关系数.【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.从而故21.对于两个随机变量V，W，若E（V2），E（W2）
