高等数学课后习题答案第五章

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1、习题五1．求下列各曲线所围图形的面积：（1）与x2+y2=8(两部分都要计算)；解：如图D1=D2解方程组得交点A(2，2)(1)∴,．（2）与直线y=x及x=2；解：.(2)（3）y=ex，y=e-x与直线x=1；解：．(3)（4）y=lnx，y轴与直线y=lna，y=lnb．(b>a>0)；解：．(4)（5）抛物线y=x2和y=-x2+2；解：解方程组得交点(1，1)，(-1，1)．(5)（6）y=sinx，y=cosx及直线；解：．(6)（1）抛物线y=-x2+4x-3及其在(0，-3)和(3，0)处的切线；解

2、：y′=-2x+4．　∴y′(0)=4，y′(3)=-2．∵抛物线在点(0，-3)处切线方程是y=4x-3在(3，0)处的切线是y=-2x+6两切线交点是(，3)．故所求面积为(7)（2）摆线x=a(t-sint)，y=a(1-cost)的一拱(0£t£2p)与x轴；解：当t=0时，x=0,当t=2p时，x=2pa．所以(8)（3）极坐标曲线ρ=asin3φ；解：．(9)（4）ρ=2acosφ；解：．(10)2．求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积：（1）r=a(1+cosθ)及r=2acosθ;解：由图11知，两

3、曲线围成图形的公共部分为半径为a的圆，故D=πa2．(11)（1）及．解：如图12，解方程组得cosθ=0或,即或．(12)．2．已知曲线f(x)=x-x2与g(x)=ax围成的图形面积等于，求常数a．解：如图13，解方程组得交点坐标为(0，0)，(1-a，a(1-a))∴依题意得得a=-2．(13)3．求下列旋转体的体积：（1）由y=x2与y2=x3围成的平面图形绕x轴旋转；解：求两曲线交点得(0，0)，(1，1)．（14）（2）由y=x3，x=2，y=0所围图形分别绕x轴及y轴旋转；解：见图14，．（2）星形线绕

4、x轴旋转；解：见图15，该曲线的参数方程是：，由曲线关于x轴及y轴的对称性，所求体积可表示为(15)4．设有一截锥体，其高为h，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a，2b和2A，2B，求这截锥体的体积。解：如图16建立直角坐标系，则图中点E，D的坐标分别为：E(a，h)，D(A，0)，于是得到ED所在的直线方程为：(16)对于任意的y∈[0，h]，过点(0，y)且垂直于y轴的平面截该立体为一椭圆，且该椭圆的半轴为：，同理可得该椭圆的另一半轴为：．故该椭圆面积为从而立体的体积为.1．计算底面是半径为R的圆，而垂直于底

5、面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.见图17.(17)解：以底面上的固定直径所在直线为x轴，过该直径的中点且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则底面圆周的方程为：x2+y2=R2．过区间[-R，R]上任意一点x，且垂直于x轴的平面截立体的截面为一等边三角形，若设与x对应的圆周上的点为(x，y)，则该等边三角形的边长为2y，故其面积等于从而该立体的体积为．2．求下列曲线段的弧长：（1），0≤x≤2；解：见图18，2yy′=2．∴．从而(18)（2）y=lnx，；解：．（3）；解：=4.3．设星形线

6、的参数方程为x=acos3t，y=asin3t，a>0求（1）星形线所围面积；（1）绕x轴旋转所得旋转体的体积；（2）星形线的全长．解：(1)．(2)(3)xt′=-3acos2tsintyt′=3asin2tcostxt′2+yt′2=9a2sin2tcos2t，利用曲线的对称性，．2．求对数螺线r=eaθ相应θ=0到θ=φ的一段弧长．解：．3．求半径为R，高为h的球冠的表面积．解：=2pRh．4．求曲线段y=x3(0£x£1)绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积．解：．5．把长为10m，宽为6m，高为5m的储水池内盛

7、满的水全部抽出，需做多少功？解：如图19，区间[x，x+dx]上的一个薄层水，有微体积dV=10·6·dx(19)设水的比重为1，，则将这薄水层吸出池面所作的微功为dw=x·60gdx=60gxdx．于是将水全部抽出所作功为．6．有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和6m，高为20m，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力．解：如图20，建立坐标系，直线AB的方程为．压力元素为所求压力为（20）=1467(吨)=14388(KN)14．半径为R的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从

8、水中取离水面，问做功多少？解：如图21，以切点为原点建立坐标系，则圆的方程为(x－R)2+y2=R2将球从水中取出需作的功相应于将[0，2R]区间上的许多薄片都上提2R的高度时需作功的和的极限。取深度x为积分变量，典型小薄片厚度为dx，将它由A上升到B时，在水中的行程为x；在水上的行程为2R－x。因为球的比重与水相同，所以此薄片所受的浮力与其自