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时间:2018-09-15
《谈几类函数值域的求法-宜昌七中》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第七周高三理数集体备课----函数值域的求法王伟一、考点分析:求函数值域的常用方法。函数值域与单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的应用,运用函数的值域解决实际问题.二基础知识要点1、在函数中,与自变量的值对应的的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域2、确定函数函数值域的原则①当函数用表格给出时,函数的值域是指表格中实数的集合②当函数用图象给出时,函数的值域是指图象在轴上的投影所覆盖的实数的集合③当函数用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及对应法则唯一确定④当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定三、求函数值域的方
2、法1、观察法由函数的定义域结合图象,或直接观察,准确判断函数值域的方法。常利用非负数,平方数、算术根、绝对值等。例:求下列函数的值域①②③④⑤⑥()⑦()⑧()⑨()⑩()注:2、配方法求“二次函数类”值域的基本方法。此类题先配方,再用二次函数求最值的方法求值域。例:求下列函数的值域①②,③()④⑤()⑥⑦⑧⑨⑩(11)练习1、求函数的值域。答案:[,+∞]2、求。答案:[-2,+∞)3、求的值域。3、反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域。此外,这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”。例:①求函数y=
3、的值域。②求函数的值域。练习:4、换元法利用代数或三角代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域。要注意中间量的范围。(代数代换)例1:求函数的值域。答案:[-∞,]例2:求函数的值域答案:[+ ,+] 练习:①求函数的值域。答案:[ 1 ,+∞) ②求函数的值域。 (三角代换)例3:求函数的值域。答案:例4:求函数y=x+4+的值域答案:[4-,4+] 例5:求函数的值域例6:求函数的值域。答案:(形如“”的函数)解:由。令且[],则。由,得。当时,;当时,。说明:这类函数根号内外自变量的
4、次数不同,不适合第一类型的解法。又且的函数定义域一定为闭区间,如,则可作三角代换为且,即可化为+k型函数。至于且及其他类型,同学们可自己分析一下。练习:求函数y =x+2+的值域答案:[0,1+]例7:求函数的值域。(形如“”的函数)解:由,得。令且,则。由,得,则,故函数的值域为。说明:此法适用于两根号内自变量都是一次,且,此时函数的定义域为闭区间,如,则可作代换,且,即可化为型的函数。 例8:求函数y=的值域 解:原函数可变形为:y=- 可令x=tgβ,则有=sin2β,=cos2β ∴y=-sin2βcos2β=
5、 -sin4β 当β= k∏/2-∏/8时,=。 当β= k∏/2+∏/8时,y= - 而此时tgβ有意义。 故所求函数的值域为[-,] 。总结:⑴若题目中含有,则可设(或设)⑵若题目中含有,则可设,其中⑶若题目中含有,则可设,其中⑷若题目中含有,则可设,其中⑸若题目中含有,则可设其中5、方程思想法 任何函数式都可看成是的方程,能否取某一个值,就看是否存在,即的方程有无实根。例:求下列函数值域①求函数y = 的值域。()答案:[,]②求函数的值域。(分子和分母有公因式的)错解:将函数式化为,(1)当时,代入上式得,∴,故属于值域
6、;(2)当时,,综合(1)、(2)可得函数的值域为。剖析:解中函数式化为方程时,产生了增根(与虽不在原函数的定义域内,但却是转化的方程的根),因此最后应该去掉与时方程中相应的值。正解:(x≠2且x≠-3),即y=1+(x≠2且x≠-3)。≠0,∴y≠1,又x≠-3,∴y≠.所以正确答案为,且。(分离常数法)③求函数求函数y=的值域解:由x2+x-6≠0得x≠2,x≠-3∴函数的定义域为{x
7、x∈R,x≠2,x≠-3}由原函数变形得:(y-1)x2+(y-4)x-6y-3=0我认为在此之后应加上:关于x的方程(y-1)x2+(y-4)x-6y-
8、3=0有实数根且至少有一根不为2且不为-3(1)当y=1时,代入方程求得x=-3,而x≠-3,因此y≠1(2)当y≠1时关于x的方程(y-1)x2+(y-4)x-6y-3=0为一元二次方程,可以验证x=-3为该方程的根,x=2不是该方程的根,因此只有两个根都为-3时不满足题意,其余都符合题意,因此只需△≠0,即可得出即可得出y≠由上可知:原函数的值域为{y
9、y≠1,y≠}练习:求函数y=的值域解:由已知得x≠-1且x≠3,将原函数化为(y-1)x2-(2y-1)x-3y-1=0由题意得关于x的方程(y-1)x2-(2y-1)x-3y-1=0有
10、解且至少有一解不为3和-1(1)当y=1时,x=-4,∴y可以取1(2)当y≠1时,关于x的方程(y-1)x2-(2y-1)x-3y-1=0为一元二次方程,显然可以
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