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时间:2018-08-01
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1、例析几类函数的值域问题函数的值域或最值问题是高中数学的重点,也是难点。下述几类值域问题,是出现频率较高,且极易出错的类型。现评述如下,希望对同学们有所帮助。一、二次函数在闭区间上的值域问题二次函数在闭区间上的值域问题,常见的有三种类型,(1)“轴定区间定”型,(2)“轴动区间定”型,(3)“轴定区间动”型。这三种类型都是根据对称轴和区间的位置关系,来确定函数的值域。第(2)、(3)种类型,可按闭区间将数轴分成三个部分来分类,对称轴在区间内,在区间左侧或右侧,只要对这三种情况讨论,就可确定函数的值域。例1、(1)已知,求其值域。(2)已知,求其值域。(3)已知,求其值域。解:(1)易得值域
2、为。解:(2)对称轴为(ⅰ)当时,在上为增函数,易得值域为(ⅱ)当时,,若,若,则。即当时,值域为当时,值域为。(ⅲ)当时,在上为减函数,,值域为综上所述:当时值域为;当时,值域为;当时,值域为;当时值域为。解:(3),对称轴为(ⅰ)当即时,在上为增函数,值域为(ⅱ)当即时,若则;若则即当时,值域为当时,值域为(ⅲ)当即时,在上为减函数,值域为综上所述:当时,值域为;当时,值域为;当时,值域为;当时,值域为二、形如的函数值域问题由于函数的图像形如“对勾反对勾”,因此把它叫“对勾反对勾”型函数。它在区间和上单调递增,在区间和上单调递减。在求其值域时,可用其单调性来解决。例2、(1)求的值域
3、。(2)求的值域。(3)求的值域。解:(1)易得其在时取得最小值。时,值域为解:(2)在上为增函数,值域为解:(3)在时取得最小值,(ⅰ)当即时在上为增函数,故值域为(ⅱ)当即时在时取得最小值,其最大值在或处取得。令则故当时,值域为当时,值域为(ⅲ)当即时在为减函数,值域为综上所述:当时,值域为;当时,值域为当时,值域为;当时,值域为。三、形如(、不同为0)的函数的值域形如(、不同为0)的函数,若恒成立,可将其转化为关于的二次方程,用判别时法来求值域。用此方法时,需注意项的系数为0的情况下的值。另外,这种形式的函数,也可以用均值不等式来求值域。方法是:在分子、分母中凑次数较低的一方,再变
4、形成可用均值不等式的形式。例3、求函数的值域。解法一:由原式得:当时,由则当时函数有意义且在内,因此,函数的值域为解法二:由原函数得:(ⅰ)当时,(ⅱ)当时(当且仅当时取等号)且此时(ⅲ)当时(当且仅当时取等号)且此时综上所述:原函数的值域为。说明:当按的情况分类去求函数的值域时,要注意所求得的值域,应为这几种情况的并集。这是常被同学们忽视的地方。
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