郑州大学2007级高等数学下课程试题a

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1、郑州大学2007级高等数学下课程试题A郑州大学2007级高等数学(下)课程试题(A卷)题号一二三四五总分分数合分人:                     复查人:                  一、填空题:(每题3分,共 15分)分数评卷人1 方程的通解                             .2 函数,  求全微分                         .3 函数在区间上的Fourier级数为 , 则                                              .4                      

2、                  .5曲线在点处的切线方程为          .二、计算题:(前4题各6分,后4题各8分,共56分)分数评卷人1 计算, 其中 .2 设函数由方程确定, 求微分.3 计算第一型曲线积分, 其中为抛物线上从点到点的一段弧.4 计算第二型曲线积分,为圆周, 取正向.5 计算第一型曲面积分, 为圆锥面被平面截下的部分.6 计算第二型曲面积分, 是上半球面,取上侧.7求幂级数的收敛区间与和函数.  (要讨论收敛区间端点处的敛散性).8 设有连续的二阶偏导数, , 求.三、(10分)分数评卷人设函数满足且,求在区域上的最大值.四、(10分)分数评卷人

3、设在连续可导,且对于平面上不包围原点的任一条简单闭曲线, 都有, 试证明:  .五、(9分)分数评卷人求曲面在点处的切平面与曲面围成立体的体积.郑州大学2007级高等数学(下)课程试题答案(A卷)合分人:                     复查人:                  一、填空题:(每题3分,共 15分)1 方程的通解                             .2 函数,  求全微分                        .3 函数在区间上的Fourier级数为 , 则   2                            

4、               .4  0.                                      .5曲线在点处的切线方程为二、计算题:(前4题各6分,后4题各8分,共56分)1 计算, 其中 .解:视为区域,则2 设函数由方程确定, 求微分.解:方程两边取微分,得即整理,得:      3 计算第一型曲线积分, 其中为抛物线上从点到点的一段弧.解:   所以,4 计算第二型曲线积分,为圆周, 取正向.解:(格林公式)      5 计算第一型曲面积分, 为圆锥面被平面截下的部分.解:将投影在面上,其投影区域为:     由圆锥面,得     故  6 计

5、算第二型曲面积分, 是上半球面,取上侧.解:取(下侧),并记围成的空间区域为则由高斯公式:(球坐标系下)       又故7求幂级数的收敛区间与和函数.  (要讨论收敛区间端点处的敛散性).解:(一)先求收敛区间     令因为,故收敛半径为又当级数即为发散;当级数即为收敛,故收敛区间为(二)求和函数令,则故8 设有连续的二阶偏导数, , 求.解:;三、(10分)设函数满足且,求在区域上的最大值.解:(一)先求因为,故又,所以,因此,(二)求在上的最大值.(一)内部令得在内有唯一驻点(二)边界上令由得或比较知在上的最大值为3。注意:其中(二)边界上,也可这样求故由上式显见在上

6、,再与 比较,即知在上的最大值为3。四、(10分)设在连续可导,且对于平面上不包围原点的任一条简单闭曲线, 都有, 试证明:  .证明:令因为对于平面上不包围原点的任一条简单闭曲线, 都有,故一定满足   对于有即有化简,得有       (1)特别地,(1)中令得   此为可分离变量方程,  即                      (2)又将代入(1)式,得对成立,故所以,。五、(9分)求曲面在点处的切平面与曲面围成立体的体积.解:由曲面,令得在点处的切平面的法向量为故在点处的切平面方程为即     设该切平面与曲面围成立体的体积为则其中故注意:其中投影区域的求法:联

7、立消去得投影曲线为故

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1、郑州大学2007级高等数学下课程试题A郑州大学2007级高等数学(下)课程试题(A卷)题号一二三四五总分分数合分人:                     复查人:                  一、填空题:(每题3分,共 15分)分数评卷人1 方程的通解                             .2 函数,  求全微分                         .3 函数在区间上的Fourier级数为 , 则                                              .4                      

2、                  .5曲线在点处的切线方程为          .二、计算题:(前4题各6分,后4题各8分,共56分)分数评卷人1 计算, 其中 .2 设函数由方程确定, 求微分.3 计算第一型曲线积分, 其中为抛物线上从点到点的一段弧.4 计算第二型曲线积分,为圆周, 取正向.5 计算第一型曲面积分, 为圆锥面被平面截下的部分.6 计算第二型曲面积分, 是上半球面,取上侧.7求幂级数的收敛区间与和函数.  (要讨论收敛区间端点处的敛散性).8 设有连续的二阶偏导数, , 求.三、(10分)分数评卷人设函数满足且,求在区域上的最大值.四、(10分)分数评卷人

3、设在连续可导,且对于平面上不包围原点的任一条简单闭曲线, 都有, 试证明:  .五、(9分)分数评卷人求曲面在点处的切平面与曲面围成立体的体积.郑州大学2007级高等数学(下)课程试题答案(A卷)合分人:                     复查人:                  一、填空题:(每题3分,共 15分)1 方程的通解                             .2 函数,  求全微分                        .3 函数在区间上的Fourier级数为 , 则   2                            

4、               .4  0.                                      .5曲线在点处的切线方程为二、计算题:(前4题各6分,后4题各8分,共56分)1 计算, 其中 .解:视为区域,则2 设函数由方程确定, 求微分.解:方程两边取微分,得即整理,得:      3 计算第一型曲线积分, 其中为抛物线上从点到点的一段弧.解:   所以,4 计算第二型曲线积分,为圆周, 取正向.解:(格林公式)      5 计算第一型曲面积分, 为圆锥面被平面截下的部分.解:将投影在面上,其投影区域为:     由圆锥面,得     故  6 计

5、算第二型曲面积分, 是上半球面,取上侧.解:取(下侧),并记围成的空间区域为则由高斯公式:(球坐标系下)       又故7求幂级数的收敛区间与和函数.  (要讨论收敛区间端点处的敛散性).解:(一)先求收敛区间     令因为,故收敛半径为又当级数即为发散;当级数即为收敛,故收敛区间为(二)求和函数令,则故8 设有连续的二阶偏导数, , 求.解:;三、(10分)设函数满足且,求在区域上的最大值.解:(一)先求因为,故又,所以,因此,(二)求在上的最大值.(一)内部令得在内有唯一驻点(二)边界上令由得或比较知在上的最大值为3。注意:其中(二)边界上,也可这样求故由上式显见在上

6、,再与 比较,即知在上的最大值为3。四、(10分)设在连续可导,且对于平面上不包围原点的任一条简单闭曲线, 都有, 试证明:  .证明:令因为对于平面上不包围原点的任一条简单闭曲线, 都有,故一定满足   对于有即有化简,得有       (1)特别地,(1)中令得   此为可分离变量方程,  即                      (2)又将代入(1)式,得对成立,故所以,。五、(9分)求曲面在点处的切平面与曲面围成立体的体积.解:由曲面,令得在点处的切平面的法向量为故在点处的切平面方程为即     设该切平面与曲面围成立体的体积为则其中故注意:其中投影区域的求法:联

7、立消去得投影曲线为故

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