2009级985高等数学(下)及其参考答案 郑州大学

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1、2009~2010年第二学期《微积分》期末考试试卷（A卷）及其参考答案（985）共8页20题考试时间：2010.7.6上午9：00—11：30考试方式：闭卷题号一二三四五六总分满分得分得分评卷人评卷人一.填空题（每小题3分，共18分）（将答案填在题中横线上，不填解题过程）1．平面上的抛物线绕轴旋转一周所得旋转曲面的方程为解：2．柱面在点处的切平面方程为解：设，则所以，切平面的方程为：化简后，得：.3．设函数，则解：令，则，所以，；同理，令，则，所以，故144．设处处有连续的导数，，又曲线积分在全平面与路径无关

2、，则解：由于在全平面与路径无关，所以有，即于是又由算得，故5．解：由二重积分的集合意义，知等于上半球体的体积，故6．函数在点处沿方向的方向导数解：根据方向导数与偏导数之间的关系可知得分评卷人评卷人二.单项选择题（每小题3，共12分）（将正确选项前的字母填入题中的括号内）7.逐次积分；；；14解：积分区域是又圆周与直线所围城成.可视为区域故根据化二重积分为二次积分的方法，知：即选注意：如视为区域，则在实际计算时，需要将其分成两小块分别计算.8.函数在点处存在，不存在；存在，不存在；沿任何方向的方向导数存在；连续

3、.解：；9．微分方程的特解形式为；；；解：（一）与所求二阶常系数线性齐次微分方程为其特征方程为14特征根为（二）方程右端项故可设方程的特解为其中为方程的特解.其求法如下因为，不是特征根，所以可设为其中为方程的特解.其求法如下因为，是特征根，所以可设为故选10.设函数以为周期，在上的级数的和函数在处的值；；；解：由于，根据收敛定理知：故选得分评卷人评卷人三.（每小题6分，三个小题共18分）11．设，其中具有连续的二阶偏导，求解：；1412.设函数，又是由方程叙所确定的隐函数，求解：（一）方程两边关于求偏导，得：

4、解得（1）（二）（代入（1）式）13．求曲线在点处的切线方程.解法一：方程组两边关于求导，得：将代入上式，得：所以在点处的切向量14故曲线在点处的切线方程为：解法二：先求曲面在在点处的切平面方程.为此，令，则所以，切平面的方程为：化简后，得：故曲线在点处的切线的一般式方程为：进一步，化为点、向式为：解法三：平面的法向量为；曲面在在点处的切平面的法向量故在点处的切向量∥所以曲线在点处的切线方程为：得分评卷人评卷人四.（每小题9分，两个小题共18分）14．求其中曲线是上从点到点的一段弧.14解：；.则（1）由格林

5、公式：所以15．求，其中为上半球面.解：（1），（2）所以（其中）得分评卷人评卷人五.（本大题共三小题，每小题满分为8分，共24分）.16．求，其中为锥面被平面所截得部分的下侧.解法一：（直接计算）在平面上的投影区域为，14将分为，其中（取前侧）；（取后侧）.故；（1）在平面上的投影区域为，的方程为（下侧）所以（2）故解法二：利用高斯公式计算设的前上侧.的下侧.则构成封闭曲面的外侧.因此由高斯公式：故解法三：化为第一型曲面积分计算.的向下的法向量所以14.（1）故（代入（1））由，所以解法四：（转向法）（代入

6、（1）式）这里（取下侧），故1417．计算，其中由平面，及曲面围成.解法一：记是由圆锥面与平面所围成的区域；是由圆锥面与圆柱面所围成的区域；是由两圆柱面，与两平面，所围成的区域.则采用柱面坐标算之.其中；；14；所以解法二：记是由圆锥面与平面所围成的区域；是中除去后剩余部分构成的区域.则采用柱面坐标算之.；；所以解法三：其中14；（上式之所以成立，是因为，而，故必有）；所以18．求，其中解：.由对称性，知：；14得分评卷人评卷人六．（每小题5分，三个小题共10分）19．求函数的极值.解：（一）解方程组得唯一驻

7、点：（二）因为在处故为极小值.20．设是空间光滑闭曲面，是由曲面所围立体的体积，对于上任意点，记为点的矢径，，是上点处的外单位法矢量与的夹角.证明：证明：设上点处的外单位法矢量；则，（1）所以（代入（1）式）14（由高斯公式）命题获证.14