2010级高等数学(下)及其参考答案.doc

《2010级高等数学(下)及其参考答案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2010~2011年第二学期《微积分》期末考试试卷（A卷）及其参考答案（985）共8页20题考试时间：2011.7.4上午9：00—11：30考试方式：闭卷题号一二三四五六总分满分得分得分评卷人评卷人一.填空题（每小题3分，共18分）（将答案填在题中横线上，不填解题过程）1．设为椭圆抛物面与柱面围成的空=间立体，它在平面上的投影区域是解：联立消去变量，得所以它在平面上的投影区域是：2．旋转抛物面在点处的切平面是解：设，则所以，切平面的方程为：化简后，得：.3．函数，在点处，当时的全微分为解：当时，4．设由直线和围成，则

2、解：5．函数在点处的梯度是解：，，所以6．设为抛物线，直线相交组成的闭曲线，则解：由格林公式，知二.单项选择题（每小题3，共12分）（将正确选项前的字母填入题中的括号内）7.已知的三个特解：，则该方程的通解为；；；.解：根据二阶常系数线性微分方程解的性质知，及均是对应的齐次方程的解，故齐次通解为；所以原非齐次方程的通解是选注意：如视为区域，则在实际计算时，需要将其分成两小块分别计算.8.考虑函数在点处的以下性质：连续；两个偏导数存在且连续；可微分；两个偏导数存在.则成立.；；；.解：选.9．设满足，则对上的富里叶级数成

3、立.；；；.解：由已知，有这说明以为周期.又由公式（），所以；同理（），所以；故选10.设，，在上连续，则（）；；；.解：选得分评卷人评卷人三.（每小题6分，三个小题共18分）11．设是由方程①所确定的隐函数，求和解法一：令则；；故；.所以，12.解法二：①两边全微分，得即②将代入②得即所以，12．设函数有连续的偏导数，且由方程①所确定，求解：由①式故②所以（代入②）13．设，其中具有二阶连续（偏）导数.求解：（一）；（二）得分评卷人评卷人四.（每小题9分，两个小题共18分）14．设由曲线组成，证明：曲线积分证明：记；

4、.又设是由曲线围成的区域，则由格林公式，有由对称性，，，故15．求半径为，高为的球冠的面积.解法一：设球面方程为则球冠在面上的投影区域为即又由球面得所以球冠的面积.（其中）解法二：球冠可视为由面上的一小段圆周曲线绕轴旋转生成.在上点处取微元.绕轴旋转所生成的那块曲面可近似看成圆柱面，面积为：.其中，为点到轴的距离.所以，因此由的参数方程得所以五.（本大题共三小题，每小题满分为8分，共24分）.得分评卷人评卷人16．计算，其中是圆柱面被平面和所截出部分的外侧.解法一：（直接计算）在平面上的投影区域为，将分为，其中（取右侧

5、）；（取左侧）.故；（1）在平面上的投影区域面积为零，故（2）故解法二：利用高斯公式计算取为平面上介于圆柱面之间的那一部分的上侧；取的下侧.则构成立体的整个封闭曲面的外侧.因此由高斯公式：（1）故（2）又在在平面上的投影区域面积为零；而在平面上的投影区域为，所以又在在平面上的投影区域面积为零；而在平面上的投影区域为，所以所以17．计算，其中由曲面及两平面，所围成.解法一：.解法二：柱面坐标系18．设，其中由及曲线围成，求解法一：（1）其中；（令）（2）所以解法二：设以，，，为顶点的正方形区域为；曲线和轴围成的半圆区域为

6、，则其中；（令）所以解法三：做坐标平移变换记则在新的直角坐标系下，积分区域变为由由及曲线围成，关于轴对称。所以得分评卷人评卷人六．（每小题5分，两个小题共10分）19．求函数在闭区域上的最值.解：（一）内部解方程组或得两个驻点：算得（二）边界上作拉格朗日函数，令解之，,,,或.由于，，所以，在闭区域上的最大值为112，最小值为-16.20．设点，质点沿以为直径的半圆周从到按逆时针运动，所受力为，的大小等于点与原点之间的距离，其方向垂直于线段且与轴正向夹角小于求变力对质点所做的功.解：设按题意，变力的大小为向径，的单位向

7、量为则变力的单位向量应为所以变力圆弧的方程为化为参数式即为所以变力对质点所做的功为