2007级高等数学(下)及其参考答案

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1、一、计算下列各题：（每题5分，共30分）分数评卷人1・设z=excosy+sin(,求dzx=l・v=0解：半=excosy+ycos(x)');半=-exsiny+xcos(xy)・故oxoydz=^dx^dydxdy=0cosy+ycos(与))必+(-e'siny+兀cos(与))6(ydz^v=l=edx+dy.y=02•设z=/（兀厂）其中/具有二阶连续偏导数，求冀.dxdy解：害=斤+也;32zdxdy［彳+也］:廿］;+［幻=［珞兀］+｛於+y［必兀］｝=澀+於+皿・1•若z=z(

2、兀,y)由方程2sin(x+2j-3z)=x+2y-3z(1)确定,、丄皆dzdz计算—+—.oxuy2cos(x+2y—3z).1—3——=1—3——,dx解：方程（1）两边同时关于兀求导，得:ldx）解之，得：英匕竺出兰.（2）ax3-6cos（x+2y-3z）同理,dz2-4cos(x+2y-3z)dy3-6cos(x+2y-3z)(3)由（2）、（3）两式易得¥+尖=1・oxoy1.计算积分I=^clx^xe~y"dy,解：交换积分次序，得OO另解：由分部积分公式:5.计算/=£（x2+尸

3、+1声其屮厶为下半圆周y=_.丁9-疋・解：将厶的边界条件代入，得：I=£（x2+b+l”s=J（9+1上力=30/r.6.将函数/(x)=0,-^

4、^j00.sinnxdx+2.sinnxdx2/2八、2=.cosruA=——(1-cosn7C--n7i0n7i故/⑴十》却

5、-（T）".sinnx,(—兀/v,其屮Q为旋转抛物面2z=x2+y2与平面z=2、z=8所围成的空间区域.解一：I=£d&jr.r2dr^r2dz+£rr?^rJ2dz=48龙+288龙=336兀.〃“止一咚"6龙2332-oJO解二：/=Jo"8Jodz-£d&J()r.r~dr^~2_解三：/二『dz.jj(x24-/)d(y=d0^ZPdr=336^.x2+y2<2z

6、解四：/=r.r2d/r£dz-r.rdr^dz=336%.T解五：I=『dz『d0「r'dr-「dz「d&「r3dr=336兀.JoJoJoJoJoJo2计算/=jeycosxdx4-(1+x2+eysindy,其屮AB是由A(0,-l),沿半圆周cABx=yj-y2到B(o,l).解2th血可2如—j>ABAB[)方向为心轴2计算I=^z3dx--[x+z)dy+yydz,其中「为曲线正向往负向看去「沿逆时针方向.X=cos匚解：不难得到「的参数方程为r：y=sint,te[0,2龙]

7、・z=2,所以，I=2彳(一sinr)+(2+cos/).cos/+0dt=•2〃2COS。tclt=71.04计算I=\z2dS,S为圆锥面z=JF+〉,2上介于平面z=0,z=2之间的部分.S解：将S投影在x©面上，其投影区域为：Dxv:x2+y2<2由圆锥面Z=后+才,得dS=」l+dx)razYXclxdy=+(y、2dxdy=y[ldxdy故JJz2dS=jj(x2+/)y/ldxdy=血dO^r3dr=8后.sDxy11=jjXsdydz+y^dzdx+^x1+y2+z3)clxd

8、y,S是上半球面z二y/l-x2-y2的则由高斯公式：°(疋)d(y')d^x2+y2+z3dxdyS

9、Q（球坐标系下）dzdv=3jjj(F+y2+z2脚Q9n

10、3J/sin(pd(ppp2dp67VT上侧.解：取&:z"0,（x2+y2

11、围成的空间区域为Q.又JJx3dydz+y^dzdx+(x2+y2+z3)clxdy=-

12、j(x2+y2)dxdy=-£d0J)r2.rdr=兀~2故/中JS6龙兀17龙d=5210三、应用与证明题(每小题10分，共30分)分数

13、评卷人1.证明函数/(“)彳F+产(3)珂0，°)，在原点0(0,0)处偏导数存在,o,(x,y)H(O,O),但在原点0(0,0)处不可微.解：(-)因为lim/(°+^°)-/(0'0)=Iim2z2=0.,所以，f'(0,0)=0;XtOyxtO/xJx同理，/(0,0)=0・(-)考察极限Ax(Aj)2[(Ar)2+(Ay)2limAv->0△，t0iimAz-[/vz(0,0).Ax+/；(0,0)Ay]p->0因为血,Att()rzg[(3+(®〔2(1+/)故li