第2讲 排列与组合1

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1、第2讲　排列与组合【2013年高考会这样考】1．考查排列组合的概念及其公式的推导．2．考查排列组合的应用．【复习指导】复习时要掌握好基本计算公式和基本解题指导思想，掌握一些排列组合的基本模式题的解决方法，如指标分配问题、均匀分组问题、双重元素问题、涂色问题、相邻或不相邻问题等．基础梳理1．排列(1)排列的概念：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．(3)排列数公

2、式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．(4)全排列数公式A＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．2．组合(1)组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号C表示．(3)组合数公式C＝＝＝(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C＝1.(4)组合数的性质：①C＝C；②C＝C＋C.一个区别排列与组合，排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是

3、排列，如果与顺序无关即是组合．两个公式(1)排列数公式A＝(2)组合数公式C＝利用这两个公式可计算排列问题中的排列数和组合问题中的组合数．①解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．②要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．四字口诀求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组

4、合；分类相加，分步相乘．”双基自测1．8名运动员参加男子100米的决赛．已知运动场有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字(如：4,5,6)，则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有(　　)．A．360种B．4320种C．720种D．2160种解析　本题考查排列组合知识，可分步完成，先从8个数字中取出3个连续的三个数字共有6种可能，将指定的3名运动员安排在这三个编号的跑道上，最后剩下的5个排在其他的编号的5个跑道上，故共有6AA＝4320种方式．答案　B2．以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有(　　)．A．20

5、0个B．190个C．185个D．180个解析　正五棱柱共有10个顶点，若每四个顶点构成一个四面体，共可构成C＝210个四面体．其中四点在同一平面内的有三类：(1)每一底面的五点中选四点的组合方法有2C个．(2)五条侧棱中的任意两条棱上的四点有C个．(3)一个底面的一边与另一个底面相应的一条对角线平行(例如AB∥E1C1)，这样共面的四点共有2C个．所以C－2C－C－2C＝180(个)，选D.答案　D3．(2010·山东)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有(　　)．A．36

6、种B．42种C．48种D．54种解析　因为丙必须排在最后一位，因此只需考虑其余五人在前五位上的排法．当甲排在第一位时，有A＝24种排法，当甲排在第二位时，有A·A＝18种排法，所以共有方案24＋18＝42(种)，故选B.答案　B1233122314.如图，将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有(　　)．A．6种B．12种C．24种D．48种解析　只需要填写第一行第一列，其余即确定了．因此共有AA＝12(种)．答案　B5．某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，

7、又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是________(用数字作答)．解析　可将6项工程分别用甲、乙、丙、丁、a、b表示，要求是甲在乙前，乙在丙前，并且丙丁相邻丙在丁前，可看作甲、乙、丙丁、a、b五个元素的排列，可先排a、b，再排甲、乙、丙丁共AC＝20种排法，也可先排甲、乙、丙丁，再排a、b，共CA＝20种排法．答案　20考向一　排列问题【例1】►六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站在