【数学】福建省漳州市诏安县四都中学2013-2014学年高二下学期期末考试（理）

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1、四都中学2013-2014学年高二下学期期末考试数学试卷（理科）一.选择题：（本大题共10，每小题5分，共50分）1.已知为虚数单位，则(D)A.B.C.2D.-22.函数，已知在时取得极值，则=（D）A．2B．3C．4D．53.曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（C）A．B．C．和D．和4.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，可求出关于的线性回归方程，则表中的值为(A)A．B．C．D．6.从4名男生和3名女生中选出4人参加市中学生知识竞赛活动，若这4人中必

2、须既有男生又有女生，不同的选法共有（D）A．140种B．120种C．35种D．34种7.的展开式中与的系数相等，则n=（B）A．6B．7C．8D．98.若随机变量X～,则的值为(C)A.B.C.D.9.已知是定义在上的奇函数，且在单调递增，若，则的取值范围是(A)A．B.C.D.10.满足,且关于x的方程有实数解的有序数对的个数为（B）A．14B．13C．12D．10二.填空题（本大题共5题，每小题4分，共20分):11.个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有8种.（用数字作答）12.展开式中的系数等于8，则实数a=____2__

3、___。13.，则-2.14.设随机变量服从正态分布，，则15.当时，有如下表达式:两边同时积分得：从而得到如下等式：请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：三.解答题（本大题共6题，共80分）16.选修4-2：矩阵与变换已知，若矩阵=所对应的变换把直线变换为自身。(Ⅰ)求实数；(Ⅱ)若向量=，=，试判断和是否为矩阵的特征向量，并试证之。（Ⅰ）解法一：解：在直线上任取两点（1，0）和（0，1），由…………1分和，　…………2分知点和点均在直线上，所以…………3分8解得所以矩阵．　经检验，所求矩阵M符合要求．…………4分（Ⅱ）因为，，所以不

4、是M的特征向量，是M的特征向量．　　　…………7分解法二：（Ⅰ）设为直线上任意一点，其在M的作用下变为Q．则…………1分…………2分依题意，点Q在直线上，所以，即．…………3分依题意，直线与直线重合，所以解得故矩阵．　　　　　…………4分（Ⅱ）同解法一　　　…………7分17.设矩阵．（I）若，求矩阵M的逆矩阵；（II）若曲线C：在矩阵M的作用下变换成曲线：，求的值．解：（I）当时，的行列式，故所求的逆矩阵.　　　　………………………………………3分（II）设曲线C上任意一点，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点8，则，即又点在曲线上，所以

5、，则，即为曲线C的方程，……………………5分又已知曲线C的方程为，比较系数可得，解得，∴.…………………7分18.工商部门对甲、乙两家食品加工企业的产品进行深入检查后，决定对甲企业的5种产品和乙企业的3种产品做进一步的检验.检验员从以上8种产品中每次抽取一种逐一不重复地进行化验检验.(Ⅰ)求前3次检验的产品中至少1种是乙企业的产品的概率；(Ⅱ)记检验到第一种甲企业的产品时所检验的产品种数共为X，求X的分布列和数学期望．解：（Ⅰ），∴前3次检验的产品中至少1种是乙企业的产品的概率为.………………4分(Ⅱ)X可取值1，2，3，4，，，，…………

6、…………9分X的分布列如下表：X1234PX的数学期望为：.………………………………………13分19.8受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；住生产一辆(II)若该厂生产的轿车均能售出，记甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；

7、（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。20.已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为.（1）求函数的解析式；8（2）求函数在区间上的最值。解：（1）（2）最大值，最小值-43.21.巳知函数，，其中.(Ⅰ)若是函数的极值点，求的值；(II)若在区间上单调递增，求的取值范围；(Ⅲ)记，求证：.解：(Ⅰ)由，得，……………………………1分∵是函数的极值点，∴，解得，………………………………2分经检验为函数的极值点，所以．…………………

8、……………3分(II)∵在区间上单调递增，∴在区间上恒成立，………………………4分∴对区间恒成立，………………………………5分令，则当时，，有，……………7分∴的取值范围为．……