一元二次方程的应用及复杂证明题

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1、3eud教育网http://www.3edu.net百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！一元二次方程的应用（一）1．数字问题2．几何图形问题列方程解应用题是初中代数的重点内容，学习掌握数学知识的目的在于应用，用以解决工作生活中遇到的实际问题．近几年，中考试卷中的应用问题必不可少，考查题型多见工程问题、行程问题、平均增长率（降低率）问题、面积问题等贴近现实生活的实际问题，同学们一定要认真学习，打好基础，提高逻辑思维，分析问题的能力和用数学的意识．二．重点内容分析与讲解1．列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤可归结为“审，设，

2、列，解，验，答”．我们复习如下：（1）审：是指读懂题目，审清题意，特别是问题的实际背景明确哪些是已知的，哪些是未知的，以及它们之间的数量关系．（2）设：是指设元，也就是设未知数，设元又分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，如果直接设元，方程比较难列或列出的方程比较复杂，这时可以考虑间接设元，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．（3）列：就是列方程，这是最重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系．再根据这个关系列出含有未知数的等式．即方程．（4）解：就是求出所列方程的解．（5）验：检验分为两层含义．①检验方程的根是否有意义．在

3、列一元二次方程时不会遇到．②检验求得的解是否符合应用题的实际意义．（6）答：就是完整书写答话．以上六个步骤缺一不可，其中，审题是基础，列方程是关键．2．列方程解应用题应该注意的一些问题（1）要注意各类应用题中常用的等量关系，例如面积问题中有关的面积公式，还要注意挖掘题目中的隐含的等量关系．（2）注意语言和代数表达式的互化．题目中有些条件是通过语言给出的，只有把它转化成代数式才能为列方程服务．（3）注意从语言叙述中写出等量关系．（4）注意单位问题，一是在设元时必须写清单位，用对单位，例如不要把速度单位写成路程单位．二是在列方程时，要注意方程两边的单位必一致．注意：“设”和“答”都需要写清数

4、量的单位．典型例题讲解1．数字问题应用题解法．例1．两个连续奇数的积是899，求这两个数．分析：本题考查用一元二次方程求解的数字问题，正确理解连续奇数的意义是解题关键．解：设较小的一个奇数为x，则另一个为x+2．根据题意得：x(x+2)=8993eud教育网http://www.3edu.net教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！3eud教育网http://www.3edu.net百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！x2+2x-899=0(x-29)(x+31)=0x1=29x2=-31由x=29得x+2=31由x=-31得x+2=-29答：这两个奇数是29、31或者-3

5、1、-29．注意：因为在负数范围内也存在奇数，所以本题解出的值不能随意舍去．例2．一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数．解：设原来两位数的十位数字为x，则个位数字为5-x．根据题意得[10x+(5-x)]·[10(5-x)+x]=736x2-5x+6=0(x-2)(x-3)=0x1=2x2=3当x=2时，5-x=3，符合题意，原两位数是23当x=3时，5-x=2，符合题意，原两位数是32答：原来的两位数是23或32．例3．三个连续整数，最大数的立方与最小数的立方之差比中间数的40倍大16，

6、求这三个数．解：设这三个数是x-1，x，x+1根据题意，列方程(x+1)3-(x-1)3=40x+16[(x+1)-(x-1)][(x+1)2+(x+1)(x-1)+(x-1)2]=40x+162(3x2+1)=40x+163x2-20x-7=0(x-7)(3x+1)=0当x=7时，x-1=6x+1=8答：这三个数是6、7、8．例4．有两个自然数，其差是94，某学生作此两数之积时，将其积的十位上少算了4，他又用这两个数中较大者除所得的错误积数得商52余107，求此二数．分析：根据商及余数的意义，可以知道，被除数=除数×商+余数．解：设两数中较大者是x，则较小者为x-94根据题意，列方程：

7、x(x-94)-40=52x+107x2-146x-147=0(x-147)(x+1)=0∴x1=147x2=-1（不合题意，舍去）当x=147时，x-94=533eud教育网http://www.3edu.net教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！3eud教育网http://www.3edu.net百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！答：此两数是147和53．注意：十位数上少算4，实际上错误积比真实际少算40．例5