施光燕线性代数讲义

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1、第一讲行列式一、行列式的概念引子；数量的分类：连续量（高等数学）随机量（概率与数理统计）离散量（线性代数）元素二阶行列式行列元素的表示：上例=3=5=-1=2三阶行列式=4=5四阶行列式行列式表示的是其元素之间一种特定的运算。行列式一个元素的余子式（去掉元素所在行和列的元素剩余元素所组成的部分）三阶行列式=同理=代数余子式二、行列式的计算行列式=按任何一行（列）展开按任何一行（列）展开=1按第一行展开按第三列展开行和列的选择原则：元素简单（有尽量多的0元素）正负代数余子式分布例1计算四阶行列式解；按第三行展开=3=-3三、行列式的性质1、行、列交换，其值不变。2、两行交换，其值

2、变号。3、若某一行有公因子，则可提出。=4、对行的倍加运算，其值不变。什么是倍加运算？把一行的若干倍加到另一行上面去例1计算行列式解；=对角线两侧有一边全是0为三角行列式对角线上部为0下三角行列式例2计算行列式解：两行成比例，行列式为0例3计算行列式解；第二讲矩阵一、矩阵的概念——长方形数表横的称行，竖的称列，排列每个位置上的数称为元素。，矩阵记号也可把方括弧也成圆括弧（）比较；矩阵可以是长方形行数列数可等可不等，行列式必须是正方形的行数列数一定相等。记号（）与矩阵也可表示为A—或二、矩阵的运算1、相等，若则称。2、相加当时，A，B才能相加。今后对于每一种矩阵运算时考虑的三个问

3、题1、矩阵在什么条件下可以做这样的运算？；2、运算的结果是什么？3、如何来做这样的运算？1、相加的前提：相同规模2、相加的结果：规模相同的矩阵3、如何相加：例；交换律零阵记为3、数乘，—数1、条件；任何条件下2、结果；相同规模的矩阵3、如何运算；注意；行列式与矩阵的区别对于行列式例；由此推出相减=0？一个表格=一个数？4、乘法销售记录甲乙星期一56星期二74星期三68单价单利甲41乙102销售总额总利星期一5*4+6*105*1+6*2星期二7*4+4*107*1+4*2星期三6*4+8*106*1+8*2AB=C，。1、相乘的前提：前列等于后行当时，才能作乘法1、运算结果：矩

4、阵3、如何运算：例1：能否作运算AB，BA？若能，则具体进行计算。解：A—称为行阵B—称为列阵3=3，能作乘法AB—AB又因1=1，所以也能作乘法BA—例2：计算解：例3：下面哪些运算能进行？解：不能，能，能，不能单位阵也能用E表示单位阵5、转置（或）例1：一般地有对称阵若A=则称A为对称阵例，A为对称阵第三讲逆矩阵一、逆矩阵的概念定义：对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B使AB=BA=I，则称A是可逆的，称B为A的逆阵，记为。例1：设，证明A可逆，且证明：又得证主对角线，称为对角阵例2：设n阶方阵A满足证明可逆，且证：，所以结论成立。例3：若n阶方阵A，B均可逆，证AB也可逆，且

5、证：==I同理例4：设A为n阶方阵，若A可逆，则是唯一的。证：反证法设B，C均为A的逆阵于是AB=BA=AC=CA=IAB=ACB=一、矩阵的行列式（方阵的行列式）A例1：计算解：所以例2：，计算解：所以若A是n阶行列式，—数例3：设A为4阶方阵，，求。解：若A，B均为n阶方阵1、2、3、三、可逆矩阵的判定若A可逆，即存在使，于是，且。定理：A可逆的充要条件为例1：判别下列矩阵是否可逆？例2：设A=，解：故入选矩阵运算和数的运算比较，有以下两点不同，其余的均相同。不同处；1、AB=BA？2、AB=0A=0或B=0？例3：设计算解：第四讲初等行变换一、初等行变换初等行变换1、两行

6、变换：2、某行乘非零常数；3、某行乘一常数加到另一行。例利用初等行变换求逆矩阵已知A，求。例1；，求。解；把第一列变好第二列变好。。。。。。例2；，求。解；验算一、矩阵的秩下面定义秩的概念定义；矩阵A中非零子式的最高阶数称为A的秩，记为例如上例，注意以下几点1、，2、用秩刻画矩阵的可逆性；n阶方阵可逆例1；求矩阵的秩。解；由上例可知用秩的概念求矩阵的秩较为复杂。例2；（阶梯阵）求。解；而所有四阶子式均为0.结论；阶梯阵的秩等于非零行的行数。利用初等行变换求秩初等行变换是不改变秩的变换。A阶梯阵即可得出阶梯阵中非零行的行数。例3；，求解；例4；求解；第五讲向量一、n维向量有序的若

7、干数称为向量。如；称为四维向量向量实际也即是一个列矩阵。向量之间的相等、加法和数乘也即为矩阵的相等、加法和数乘。二、向量组的线性相关性称为的线性组合。称称可用线性表出。例如；即表明向量能用线性表出。例如；而就不能用线性表出。、对于一组向量其中有没有向量可以用其余向量线性表出？等价于；是否存在一组不全为0的数使？下面说明上述等价情况；若设则就有；反之，若则定义；关于向量组若存在一组不全为0的数使则称向量组是线性相关的，否则就称为线性无关的。结论；线性相关等价于中至少有一个向量可以用其余向量线性