高考数学人教a版（理）一轮复习【配套word版文档】：第十二篇 第3讲 数学归纳法

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1、第3讲数学归纳法A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立，其初始值至少应取(　　)．A．7B．8C．9D．10解析　左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.答案　B2．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是(　　)．A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立D．假设

2、n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立解析　A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．答案　D3．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(　　)．A.B．－C.－D.＋解析　∵当n＝k时，左侧＝1－＋－＋…＋－，当n＝k＋1时，左侧＝1－＋－＋…＋－＋－.答案　C4．对于不等式

3、＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　)．A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析　在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，故推理错误．答案　D二、填空题(每小题5分，共10分)5．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＞的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________．解析　不等式的左边增加的式子是＋－＝，故填.答案　6．如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(n∈N*)行，在这些数中非1的数字之和是________________．1

4、1　　11　　2　　11　　3　　3　　11　　4　　6　　4　　1…解析　所有数字之和Sn＝20＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，除掉1的和为2n－1－(2n－1)＝2n－2n.答案　2n－2n三、解答题(共25分)7．(12分)已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N*)，求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N*)．证明　(1)当n＝2时，S2n＝S4＝1＋＋＋＝>1＋，即n＝2时命题成立；(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即S2k＝1＋＋＋…＋>1＋，则当n＝k＋1时，S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋>1＋＋＋＋…＋>1＋

5、＋＝1＋＋＝1＋，故当n＝k＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，对n≥2，n∈N*.不等式S2n>1＋都成立．8．(13分)已知数列{an}：a1＝1，a2＝2，a3＝r，an＋3＝an＋2(n∈N*)，与数列{bn}：b1＝1，b2＝0，b3＝－1，b4＝0，bn＋4＝bn(n∈N*)．记Tn＝b1a1＋b2a2＋b3a3＋…＋bnan.(1)若a1＋a2＋a3＋…＋a12＝64，求r的值；(2)求证：T12n＝－4n(n∈N*)．(1)解　a1＋a2＋a3＋…＋a12＝1＋2＋r＋3＋4＋(r＋2)＋5＋6＋(r＋4)＋7＋8＋(r

6、＋6)＝48＋4r.∵48＋4r＝64，∴r＝4.(2)证明　用数学归纳法证明：当n∈N*时，T12n＝－4n.①当n＝1时，T12＝a1－a3＋a5－a7＋a9－a11＝－4，故等式成立．②假设n＝k时等式成立，即T12k＝－4k，那么当n＝k＋1时，T12(k＋1)＝T12k＋a12k＋1－a12k＋3＋a12k＋5－a12k＋7＋a12k＋9－a12k＋11＝－4k＋(8k＋1)－(8k＋r)＋(8k＋4)－(8k＋5)＋(8k＋r＋4)－(8k＋8)＝－4k－4＝－4(k＋1)，等式也成立．根据①和②可以断定：当n∈N*时，T12n

7、＝－4n.B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　)．A．k2＋1B．(k＋1)2C.D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2解析　∵当n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.答案　D2．(2013·广州一模)已知1

8、＋2×3＋3×32＋4＋33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为(　　)．A．a＝，b＝c＝B．a＝b＝c＝C．a＝0，b＝c＝D．不