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时间:2018-12-15
《高考数学人教a版理一轮复习配套word版文档:第十二篇第3讲数学归纳法》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第3讲数学归纳法A级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.用数学归纳法证明不等式1+++…+>(n∈N*)成立,其初始值至少应取( ).A.7B.8C.9D.10解析 左边=1+++…+==2-,代入验证可知n的最小值是8.答案 B2.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,在第二步时,正确的证法是( ).A.假设n=k(k∈N+),证明n=k+1命题成立B.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+1命题成立C.假设n=2k+1(k∈N+),证明n=k+1命题成立D.假设
2、n=k(k是正奇数),证明n=k+2命题成立解析 A、B、C中,k+1不一定表示奇数,只有D中k为奇数,k+2为奇数.答案 D3.用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+,则当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上( ).A.B.-C.-D.+解析 ∵当n=k时,左侧=1-+-+…+-,当n=k+1时,左侧=1-+-+…+-+-.答案 C4.对于不等式3、=(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式成立,则上述证法( ).A.过程全部正确B.n=1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确解析 在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,故推理错误.答案 D二、填空题(每小题5分,共10分)5.用数学归纳法证明不等式++…+>的过程中,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是________.解析 不等式的左边增加的式子是+-=,故填.答案 6.如下图,在杨辉三角形中,从上往下数共有n(n∈N*)行,在这些数中非1的数字之和是________________.14、1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1…解析 所有数字之和Sn=20+2+22+…+2n-1=2n-1,除掉1的和为2n-1-(2n-1)=2n-2n.答案 2n-2n三、解答题(共25分)7.(12分)已知Sn=1+++…+(n>1,n∈N*),求证:S2n>1+(n≥2,n∈N*).证明 (1)当n=2时,S2n=S4=1+++=>1+,即n=2时命题成立;(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时命题成立,即S2k=1+++…+>1+,则当n=k+1时,S2k+1=1+++…+++…+>1++++…+>1+5、+=1++=1+,故当n=k+1时,命题成立.由(1)和(2)可知,对n≥2,n∈N*.不等式S2n>1+都成立.8.(13分)已知数列{an}:a1=1,a2=2,a3=r,an+3=an+2(n∈N*),与数列{bn}:b1=1,b2=0,b3=-1,b4=0,bn+4=bn(n∈N*).记Tn=b1a1+b2a2+b3a3+…+bnan.(1)若a1+a2+a3+…+a12=64,求r的值;(2)求证:T12n=-4n(n∈N*).(1)解 a1+a2+a3+…+a12=1+2+r+3+4+(r+2)+5+6+(r+4)+7+8+(r6、+6)=48+4r.∵48+4r=64,∴r=4.(2)证明 用数学归纳法证明:当n∈N*时,T12n=-4n.①当n=1时,T12=a1-a3+a5-a7+a9-a11=-4,故等式成立.②假设n=k时等式成立,即T12k=-4k,那么当n=k+1时,T12(k+1)=T12k+a12k+1-a12k+3+a12k+5-a12k+7+a12k+9-a12k+11=-4k+(8k+1)-(8k+r)+(8k+4)-(8k+5)+(8k+r+4)-(8k+8)=-4k-4=-4(k+1),等式也成立.根据①和②可以断定:当n∈N*时,T12n7、=-4n.B级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上( ).A.k2+1B.(k+1)2C.D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2解析 ∵当n=k时,左侧=1+2+3+…+k2,当n=k+1时,左侧=1+2+3+…+k2+(k2+1)+…+(k+1)2∴当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2.答案 D2.(2013·广州一模)已知18、+2×3+3×32+4+33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,则a、b、c的值为( ).A.a=,b=c=B.a=b=c=C.a=0,b=c=D.不
3、=(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式成立,则上述证法( ).A.过程全部正确B.n=1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确解析 在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,故推理错误.答案 D二、填空题(每小题5分,共10分)5.用数学归纳法证明不等式++…+>的过程中,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是________.解析 不等式的左边增加的式子是+-=,故填.答案 6.如下图,在杨辉三角形中,从上往下数共有n(n∈N*)行,在这些数中非1的数字之和是________________.1
4、1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1…解析 所有数字之和Sn=20+2+22+…+2n-1=2n-1,除掉1的和为2n-1-(2n-1)=2n-2n.答案 2n-2n三、解答题(共25分)7.(12分)已知Sn=1+++…+(n>1,n∈N*),求证:S2n>1+(n≥2,n∈N*).证明 (1)当n=2时,S2n=S4=1+++=>1+,即n=2时命题成立;(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时命题成立,即S2k=1+++…+>1+,则当n=k+1时,S2k+1=1+++…+++…+>1++++…+>1+
5、+=1++=1+,故当n=k+1时,命题成立.由(1)和(2)可知,对n≥2,n∈N*.不等式S2n>1+都成立.8.(13分)已知数列{an}:a1=1,a2=2,a3=r,an+3=an+2(n∈N*),与数列{bn}:b1=1,b2=0,b3=-1,b4=0,bn+4=bn(n∈N*).记Tn=b1a1+b2a2+b3a3+…+bnan.(1)若a1+a2+a3+…+a12=64,求r的值;(2)求证:T12n=-4n(n∈N*).(1)解 a1+a2+a3+…+a12=1+2+r+3+4+(r+2)+5+6+(r+4)+7+8+(r
6、+6)=48+4r.∵48+4r=64,∴r=4.(2)证明 用数学归纳法证明:当n∈N*时,T12n=-4n.①当n=1时,T12=a1-a3+a5-a7+a9-a11=-4,故等式成立.②假设n=k时等式成立,即T12k=-4k,那么当n=k+1时,T12(k+1)=T12k+a12k+1-a12k+3+a12k+5-a12k+7+a12k+9-a12k+11=-4k+(8k+1)-(8k+r)+(8k+4)-(8k+5)+(8k+r+4)-(8k+8)=-4k-4=-4(k+1),等式也成立.根据①和②可以断定:当n∈N*时,T12n
7、=-4n.B级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上( ).A.k2+1B.(k+1)2C.D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2解析 ∵当n=k时,左侧=1+2+3+…+k2,当n=k+1时,左侧=1+2+3+…+k2+(k2+1)+…+(k+1)2∴当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2.答案 D2.(2013·广州一模)已知1
8、+2×3+3×32+4+33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,则a、b、c的值为( ).A.a=,b=c=B.a=b=c=C.a=0,b=c=D.不
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