2017-2018学年高中数学人教b版选修4-1教学案：第一章 1.3 1.3.1　圆 幂 定 理

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1、2017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案_1.3圆幂定理与圆内接四边形1．3.1　圆幂定理[对应学生用书P25]　[读教材·填要点]1．相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．2．切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．3．圆幂定理已知⊙(O，r)，通过一定点P，作⊙O的任一条割线交圆于A，B两点，则PA·PB为定值，设定值为k，则：(1)当点P在圆外时，k＝PO2－r2，(2)当点P在圆内时，k＝r2－OP2，(3)当点P在⊙O上时，k＝0.[小问题·大思维]1．从圆外一点引圆

2、的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积有什么关系？提示：相等．2．从圆外一点引圆的切线，则这一点、两个切点及圆心四点是否共圆？若共圆，圆的直径是什么？提示：四点共圆．且圆心为圆外一点与原圆心连线的中点，直径为圆外一点到原圆心的距离．[对应学生用书P26]　相交弦定理的应用102017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案[例1]　如图，AB、CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD＝a，∠OAP＝30°，求CP的长．[思路点拨]　本题考查相交弦定理及垂径定理、勾股定理的综合应用．解决本题需要先在Rt△OAP中，求得AP

3、的长，然后利用相交弦定理求解．[精解详析]　∵P为AB的中点，∴由垂径定理得OP⊥AB.在Rt△OAP中，BP＝AP＝acos30°＝a.由相交弦定理，得BP·AP＝CP·DP，即2＝CP·a，解之得CP＝a.在实际应用中，若圆中有两条相交弦，要想到利用相交弦定理．特别地，如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．1．如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为________．解析：因为AF＝3，EF＝

4、，FB＝1，所以CF＝＝＝2，因为EC∥BD，所以△ACF∽△ADB，所以＝＝＝＝，所以BD＝＝＝，且AD＝4CD，又因为BD是圆的切线，所以BD2＝CD·AD＝4CD2，102017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案所以CD＝.答案：切割线定理的应用[例2]　自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆的割线交圆于B，C两点，且∠BMP＝100°，∠BPC＝40°.求∠MPB的大小．[思路点拨]　本题考查切割线定理，由定理得出△BMP∽△PMC而后转化角相等进行求解．[精解详析]　因为MA为圆O的切线，所以MA2＝MB·

5、MC.又M为PA的中点，所以MP2＝MB·MC.因为∠BMP＝∠PMC，所以△BMP∽△PMC，于是∠MPB＝∠MCP.在△MCP中，由∠MPB＋∠MCP＋∠BPC＋∠BMP＝180°，得∠MPB＝20°.相交弦定理、切割线定理涉及与圆有关的比例线段问题，利用相交弦定理能做到知三求一，利用切割线定理能做到知二求一．2.(北京高考)如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________；AB＝________.解析：设PD＝9t，DB＝16t，则PB＝25t，根据切割线定理得32＝9t×25t，解

6、得t＝，所以PD＝，PB＝5.在直角三角形APB中，根据勾股定理得AB＝4.答案：　4102017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案三个定理的综合应用[例3]　如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.(1)求证：∠P＝∠EDF；(2)求证：CE·EB＝EF·EP；(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长．[思路点拨]　本题考查切割线定理、相交弦定理．以及相似三角形的判定与性质的综合应用．解答本题需要分清各个定理的适用条件，并会合理利用．[精解详

7、析]　(1)证明：∵DE2＝EF·EC，∴DE∶CE＝EF∶ED.∵∠DEF是公共角，∴△DEF∽△CED.∴∠EDF＝∠C.∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.∴∠P＝∠EDF.(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，∴△DEF∽△PEA.∴DE∶PE＝EF∶EA.即EF·EP＝DE·EA.∵弦AD、BC相交于点E，∴DE·EA＝CE·EB.∴CE·EB＝EF·EP.(3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，∴EC＝9.∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.∵CE·EB＝EF·EP，∴9×6＝4×EP.解得：EP＝.∴PB＝PE－BE＝，PC＝PE＋EC

8、＝.102017-2018学年高中数学